On the Singularity Sets of Minimal Surfaces and a Mean Curvature Flow

Abstract

In this dissertation we examine the structure of the singularity sets of minimal surfaces and the regularity of mean curvature flows with Neumann free boundary conditions. We present a variety of results in each of these areas.

In researching the structure of minimal surface singularity sets we define eight types of approximate j-dimensionality known to be related in structure to the singularity sets of minimal surfaces. We classify each of these definitions with respect to whether or not they ensure Hausdorff j-dimensionality, locally finite Hausdorff j-measure or countable j-rectifiability. This investigation then leads to further measure theoretic results on a family of fractal sets related to the above problem.

The results presented on mean curvature flows with Neumann free boundary conditions provide analogies to the known results in mean curvature flow without boundary. That is, we show among other results, an analogy to the well known clearing out lemma, an analogy to local regularity in the sense of White and Ecker and that the Hausdorff n-measure of the singular set is 0 (where n is the dimension of the surface).

Diese Dissertation präsentiert eine vielseitige Untersuchung über diejenigen Singularitäten, die in der Differentialgeometrie vorkommen. Betrachtet werden insbesondere die Struktur der Singularitätenmengen von Minimalflächen und die Regularität von mittleren Krümmungsflüssen mit Neumann Freien-Rand- Bedingungen.

Bei der Betrachtung der Struktur von Minimalflächen werden acht erstellte Definitionen mit Bezug auf approximative j-Dimensionalität untersucht. Diese Definitionen werden wegen ihrer Beziehung mit Singularitätenmengen betrachtet. Wir klassifizieren die Definitionen danach, ob sie j-Dimensionalität, lokal endliches Hausdorff j-Maß oder abzählbare j-Rektifizierbarkeit gewährleisten. Dazu werden maßtheoretische Ergebnisse von einer interessanten Familie der Fraktale hergeleitet, welche im Zusammenhang mit der obigen Problemstellung stehen. Zu dem mittleren Krümmungsfluss mit Neumann Freien-Rand-Bedingungen zeigen wir Analogien zur Regularitätstheorie für mittleren Krümmungsfluss ohne Rand. Das heißt, wir zeigen unter anderem eine Analogie zu dem bekannten Clearing Out Lemma, eine Analogie zur lokalen Regularität im Sinne von White und Ecker und dass das Hausdorff n-Maß der Singularitätenmenge 0 ist (wobei n die Dimension der Fläche beschreibt).