On Topological Phases in Disordered P-wave Superconducting Wires

Abstract

Topological phases of matter have been the subject of intense experimental and theoretical research during the last years. Prominent examples are the Quantum Hall Effect, Topological Insulators or Topological Superconductors. The latter host special excitations, the Majorana states, at their boundaries, which can be thought of as the halves of an electron that can exist separately in this special case. These Majorana states have attracted great interest as they exhibit so-called non-Abelian braiding statistics, which could make them useful tools in the search for fault-tolerant quantum computation. In this context topologically superconducting wires are particularly useful as the Majorana states are located unambiguously at the wire’s end, where they form localized end states. Topologically superconducting wires are not known to exist in nature but they can be engineered from commonly available ingredients: semiconductor or ferromagnet nano- wires and conventional superconductors. The nano-wires can inherit superconductivity by the proximity effect and can then exhibit a topologically nontrivial phase. By now, several experiments have been performed on such hybrid structures, reporting measurements that are consistent with the existence of a topologically superconducting phase in the nanowire. Most theoretical investigations on these systems, so far, have been restricted to a one-dimensional effective model: The one-dimensional p-wave superconductor, which is the prototype of a topologically superconducting wire. A nanowire, however, is in general in a quasi-one dimensional regime, with a continuous longitudinal but a quantized transverse degree of freedom. In this Thesis we study the multichannel generalization of a topologically superconducting wire by means of a two- dimensional p + ip-superconductor that is restricted to a narrow-strip geometry. Such systems can be in a topological phase, characterized by the existence of a zero-energy excitation at the wires end—the Majorana bound state. We study the effect of various geometrical terminations on the low- energy spectrum of such a wire and find that subgap states tend to accumulate around zero energy. In a density-of- states measurement, these states potentially obscure the Majorana state thereby hindering the detection of the topological phase. We further investigate the effect of disorder on a multichannel wire and find that it induces a series of phase transitions with a reentrant topological phase. Due to disorder-localized states accumulating in the superconducting gap, the low-energy spectrum for a disordered wire contains a signature of the topological phase transitions as well: a singularity in the density of states, which is the well-known Dyson- singularity.

Topologische Phasen der kondensierten Materie sind Gegenstand intensiver theoretischer und experimenteller Forschung. Die wohl bekanntesten Beispiele für solche Phasen sind: der Quanten-Hall Effekt, Topologische Isolatoren und Topologische Supraleiter. Letztere weisen sich durch spezielle Anregungen, die Majoranazustände, aus, welche man sich als die Hälften eines Elektrons vorstellen kann und die der Oberfläche eines solchen topologischen Supraleiters getrennt voneinander existieren können. Die Majoranazustände haben aufgrund ihren besonderen Eigenschaften ein großes wissenschaftliches Interesse geweckt. Sie besitzen eine nicht-Abelsche Flechtstatistik, welche sie zu nützlichen Bauteilen für einen möglichen fehlertoleranten Quantencomputer macht. In diesem Zusammenhang sind vor allem topologisch supraleitende Drähte wichtig, da in diesen die Positionen der Majoranazustände als die Drahtenden, den Oberflächen eines eindimensionalen Systems, eindeutig bestimmt sind. Topologisch supraleitende Drähten treten zwar nicht in der Natur auf können aber von verfügbaren Materialien, Halbleiter- oder ferromagnetische Nanodrähten und konventionellen Supraleitern, konstruiert werden. Die Nanodrähte können aufgrund des Proximity-Effekts supraleitende Eigenschaften übernehmen und eine topologisch nichttriviale Phase aufweisen. Inzwischen wurden mehrere Experimente an solchen Hybrid- strukturen durchgeführt und von Messergebnissen berichtet, welche mit den theoretischen Vorhersagen konsistent sind. Die meisten theoretischen Arbeiten an solchen Drähten sind auf ein eindimensionales effektives Model beschränkt, den p-Wellen Supraleiter. Ein Nanodraht ist aber normalerweise ein quasi- eindimensionales System, mit einem kontinuierlichen, longitudinalen und einem quantisierten, transversalen Freiheitsgrad. In dieser Doktorarbeit untersuchten wir die Verallgemeinerung eines topologisch supraleitenden Drahtes zu einem Mehrkanalsystem, indem wir einen zweidimensionalen p + ip- Supraleiter auf die Geometrie eines schmalen Streifens beschränkten. Solche Systeme können eine topologisch nichttriviale Phase aufweisen, welche durch die Existenz einer Nullenergieanregung, ein Majoranazustand, gekennzeichnet ist. Wir haben den Effekt verschiedener geometrischer Drahtendungen auf das Niedrigenergiespektrum eines solchen Drahtes untersucht und beobachtet, dass sich innerhalb der Energielücke des Supraleit- ers Zustände ansammeln, welche sich um die Nullenergie scharen. In der Zustandsdichte könnten diese den Majoranazustand verdecken und daher die Identifizierung der topologischen Phase wesentlich erschweren. Des weiteren haben wir die topologische Phase eines Mehrkanalsystems unter dem Einfluss eines Unordnungspotentials erforscht und eine Serie topologischer Phasenübergänge bei ansteigender Unordnungsstärke gefunden. Im Niedrigenergiespektrum des Drahtes werden die Phasenübergänge von der charakteristischen Dyson-Singularität begleitet.