Hysteresis-Delay Differential Equations

Abstract

In this dissertation we study differential equations with both discontinuous hysteresis of non-ideal relay type and delay terms. We study general properties (existence and uniqueness of solutions) and focus on the stability of periodic solutions. We give an application for control theory. In Chapter I we study hysteresis-delay ordinary differential equations. We show existence and uniqueness of solutions for such equations. In order to study stability of periodic solutions, we create a Poincaré map and show that the stability is determined by the spectrum of its formal linearization. This last step turned out to be especially challenging. We reduce the stability analysis of the formal linearization to an equivalent finite-dimensional problem. In Chapter II we study hysteresis-delay parabolic partial differential equation. The hysteresis and delay terms are in the boundary condition of the equation. This can be seen as applying an additional controller (delay) to a thermostat model with hysteresis. Applying nonlocal and semigroup theory we prove existence and uniqueness of solutions for such equations. We decompose the problem into a system of infinitely many ordinary differential equations via the Fourier decomposition. Under a certain assumption we show that stability of periodic solutions is determined by finitely many equations. In the last section we give examples in which there is a periodic solution that can be stabilized by using the methods of this dissertation.

In dieser Doktorarbeit untersuchen wir die allgemeinen Eigenschaften, wie das Dasein und die Eindeutigkeit von Lösungen, von Differentialgleichungen mit sowohl unstetiger Hysterese der ,,nichtidealen Relais-Art``, als auch Verzögerungstermen. Wir besorgen eine kontrolltheoretische Anwendung. In Kapitel I untersuchen wir gewöhnliche Hysterese-Verzögerungsgleichungen, indem wir die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen derartiger Gleichungen beweisen. Um die Stabilität von regelmäßigen Lösungen zu bestimmen, konstruieren wir eine geeignete Poincaré-Abbildung und zeigen, daß sich die Stabilität mittels des Spektrums von deren formalen Linearisation bestimmen läßt; dieser letzte Schritt erwies sich als besonders anspruchsvoll. Wir führen die Stabilitätsanalyse der formalen Linearisation auf ein äquivalentes endlich-dimensionales Problem zurück. In Kapitel II betrachten wir parabolische Hysterese-Verzögerungsdifferentialgleichungen, wobei sich die Hysterese- und Verzögerungsterme in den Randbedingung ergeben. Solche Systeme folgen aus einem Thermostatmodell mit Hystere, auf das ein Kontroller (Verzögerungsoperator) wirkt. Unter Verwendung der Halbgruppen und nicht- lokalen Theorie beweisen wir das Dasein und die Eindeutigkeit von Lösungen derartiger Gleichungen. Durch Fourieranalyse zerlegen wir dieses Problem in ein System unendlich vieler gewöhnlicher Differentialgleichungen. Unter einer gewissen Annahme zeigen wir, daß sich die Stabilität von regelmäßigen Lösungen durch endlich viele Gleichungen bestimmen läßt. In dem letzten Abschnitt führen wir Beispiele an, in denen es eine regelmäßige Lösung, die unter Verwendung der Methoden dieser Dissertation stabilisiert werden kann, gibt