Boundary Value Problems for Higher Order Complex Partial Differential Equations

Abstract

In this thesis, we mainly study some Dirichlet boundary value problems for higher order complex differential equations in the unit disc. The key tool which we use is the decompositions of polyanalytic functions and polyharmonic functions. At first, we establish a decomposition theorem for polyharmonic functions which is a natural extension of the decomposition for biharmonic functions due to Goursat. As a consequence, we find the polyharmonic analogues of Poisson kernel which are called the higher order Poisson kernels and expressed in terms of some vertical sums with nice structure. Next, applying the higher order Poisson kernels, we obtain the unique solution of the Dirichlet problem for polyharmonic functions in the unit disc (simply, PHD problem). By the decompositions and the result for PHD problem, we give the solutions of three kinds of Dirichet problems for higher order homogeneous complex PDEs in the unit disc. In the last, using the higher order Pompeiu operators and the results for homogeneous complex PDEs, we consider the corresponding Dirichlet problems for inhomogeneous complex PDEs and give their solutions.

Das Dirichlet Problem für polyanalytische und für polyharmonische Funktionen ist Gegenstand der vorliegenden Untersuchungen. Wie bekannt, ist es für analytische und allgemeiner für polyanalytische Funktionen nicht wohl gestellt sondern überbestimmt. Daher sind in diesen Fällen Lösbarkeitsbedingungen erforderlich. Für harmonische und polyharmonische Funktionen ergeben die entsprechenden Dirichlet Vorgaben wohl gestellte Randwertprobleme. Im harmonischen Fall liefert die Poissonsche Kernfunktion die Lösung mitHilfe des Poisson Integrals. Für polyharmonische Funktionen werden entsprechende polyharmonische Poisson Kerne bestimmt. Für polyharmonische Funktionen geringer Ordnung ist dies geschehen. Das Prinzip besteht darin, Stammfunktionen bezüglich des Laplace Operators der Poissonschen Kernfunktion zu bestimmen, die am Gebietsrand verschwinden. Dies wird hier für den Fall des Einheitskreises durchgeführt, für den der Poisson Kern explizit bekannt ist. Die fortgesetzte Bestimmung der entsprechenden Stammfunktionen ist verwickelt und wird mit Hilfe von vertikalen Summationen durchgeführt. Das Dirichlet Problem wird dann auch für poly-analytisch-harmonische Funktionen beliebiger Ordnung gelöst. Ebenfalls werden die zu den betrachteten Funktionsklassen zugehörigen inhomogenen Differentialgleichungen behandelt. Die Dirichlet Probleme werden gelöst, indem sie mittels geeigneter Potentialfunktionen auf die entsprechenden Dirichlet Probleme für die zugehörigen homogenen Differentialgleichungen zurükgeführt werden.