Boundary value problems for complex partial differential equations in a ring domain

Abstract

In this thesis the main boundary value problems, namely, the Schwarz, the Dirichlet, the Neumann and the Robin boundary value problems are studied for the homogeneous and inhomogeneous Cauchy-Riemann equation in a circular ring domain. The main tool to treat boundary value problems for the Poisson equation is related Green functions. Besides the known Green function for a circular ring domain connected with the Dirichlet problem, the Neumann (Green function of second order) and the Robin (Green function of third order) functions are found here for a circular ring. On their basis the integral representation formulas for the solutions of the Neumann and Robin problem for the Poisson equation are derived. The Dirichlet and Schwarz problem for the Bitsadze equation are also solved explicitly. At last, a biharmonic Green function is constructed for a circular ring domain leading to the solution of the respective Dirichlet problem for the biharmonic equation.

Die Theorie von komplexen Randwertproblemen ist wegen ihrer Bedeutung für ebene Probleme in Physik und Technik vor allem in einfach zusammenhängenden Gebieten sehr eingehend untersucht. Vor allem sind es das Riemannsche Kopplungsproblem, wo zu vorgegebener Randfunktion Funktionen bestimmter Klassen – im einfachsten Fall analytische Funktionen – zu finden sind, die auf dem Rand den vorgegebenen Sprung aufweisen, und das Riemann-Hilbertsche Randwertproblem, dessen einfachster Fall – das Schwarz Problem – darin besteht, zu am Rand vorgegebenem Realteil eine analytische Funktion zu finden, deren Realteil am Rand diese Werte erreicht. In dieser Arbeit werden Randwertprobleme in einem speziellen zweifach zusammenhängenden Gebiet, einem konzentrischen Kreisring, untersucht. Zunächst werden vier grundlegende Randwertprobleme für analytische Funktionen auf Grundlage einer modifizierten Cauchyschen Formel explizit gelöst, das Schwarzsche, das Dirichletsche, das Neumannsche und ein Robinsches Randwertproblem. Neben den Lösungen werden Lösbarkeitsbedingungen angegeben, die auch sichern, dass die Lösungen einwertig sind, was für mehrfach zusammenhängende Gebiete im Allgemeinen nicht zutrifft. Anschliessend werden inhomogene Cauchy-Riemannsche Gleichungen untersucht und die Ergebnisse auf diese erweitert. Schliesslich werden im Hinblick auf die Poissonsche Gleichung harmonische Green, Neumann und Robin Funktionen explizit für den Ring konstruiert, von denen nur die Greenfunktion in modifizierter Form in der Literatur bekannt ist. Diese Fundamentallösungen dienen dazu, die entsprechenden Randwertprobleme für die Poisson Gleichung im Ring zu lösen und gegebenenfalls Lösbarkeitsbedingungen zu finden. Ein Dirichlet und das Schwarz Problem werden auch für die Bitsadze Gleichung behandelt. Dies ist eine weitere Modellgleichung zweiter Ordnung, im Gegensatz zum Laplace Operator ist der Bitsadze Operator aber nur schwach elliptisch, was Konsequenzen für Randwertprobleme hat. Als Letztes wird eine biharmonische Greensche Funktion explizit konstruiert, die sich als Faltung der harmonischen Greenschen Funktion mit sich selbst ergibt. Diese Funktion ist eine weitere biharmonische Greenfunktion, die sich durch ihr Randverhalten von einer kürzlich für den Ring konstruierten anderen biharmonischen Greenschen Funktion unterscheidet.