Numerical methods based on direct discretizations for uni- and bi-variate population balance systems

Abstract

Population balance systems model the interaction of the surrounding medium and the particles which are described by the particle size distribution (PSD). This way of modeling results in a system of partial differential equations where the incompressible Navier–Stokes equations for the fluid velocity and pressure are coupled to convection-diffusion equations for species concentration and the system temperature, and a transport equation for the PSD. The equation for the PSD may even contain an integral operator that models, e.g., the aggregation of the particles. Whereas the flow field, the concentration of dissolved species, and temperature are defined in a three- dimensional spatial domain, the PSD depends also on the internal coordinates, which are used to describe additional properties of the particles (e.g., diameter, volume). In particular, uni-variate and bi-variate population balance models are based on one- and two-dimensional geometrical characterizations of the individual particles (diameter, volume, or main axis in the case of anisotropic particles), resulting in four-dimensional (4D) and five-dimensional (5D) population balance systems. There are several classes of numerical methods for solving population balance systems. With the ongoing rise of computer power, the option of using direct discretizations for simulating those systems becomes more and more interesting since these discretizations do not introduce an additional error by circumventing the solution of the higher-dimensional equation for PSD, like momentum-based methods or operator-splitting schemes. In this thesis, it is shown for uni- variate population balance systems that for an appropriate choice of the unknown model parameters in aggregation kernel good agreements can be achieved between the experimental data and the numerical results computed by the numerical methods. A mixed finite difference/finite volume method is used for discretizing the PSD equation in the case of bi-variate population balance systems. In this case, it is demonstrated that even in the class of direct discrerizations, different numerical methods lead to qualitatively different numerical solutions.

Populationsbilanzsysteme modellieren die Wechselwirkung zwischen Teilchen, welche durch ihre Partikelgrößenverteilung beschrieben sind, und ihrem umgebenden Medium. Aus mathematischer Sicht führt das auf ein gekoppeltes System von partiellen Differentialgleichungen. Die inkompressible Navier–Stokes– Gleichungen, welche die Fluidgeschwindigkeit und den Druck beschreiben, sind hier an Konvektions–Diffusions–Gleichungen, welche die Konzentration der Spezies sowie die Temperatur des Systems modellieren und an eine Transportgleichung für die Beschreibung der Partikelgrößenverteilung gekoppelt. Die Gleichung für die Partikelgrößenverteilung kann sogar einen Integraloperator enthalten, der zum Bespiel die Aggregation von Partikeln modelliert. Das Strömungsfeld, die Konzentration der gelösten Spezies und die Temperatur des Systems sind in einem dreidimensionalen Gebiet definiert. Die Partikelgrößenverteilung hängt darüber hinaus von den internen Koordinaten ab, welche zusätzliche Eigenschaften der Partikel (z. B. Durchmesser, Volumen) beschreiben. Insbesondere sind univariate und bivariate Populationsbilanzmodelle dadurch gekennzeichet, dass sie eine ein- oder zweidimensionale geometrische Charakterisierung der einzelne Partikel darstellen (Durchmesser, Volumen der Teilchen oder Hauptachse von anisotropen Teilchen). Dies resultiert in vierdimensionale (4D) und fünfdimensionale (5D) Populationsbilanzsysteme. Zur numerischen Lösung von solchen Systemen können verschiedene Klassen von Methoden genutzt werden. Mit dem Anstieg der Rechenleistung werden direkte Diskretisierungen für die Simulation zunehmend interessanter. Solche direkten Schemata haben gegenüber Momentenmethoden oder Operator-Splitting-Methoden den Vorteil, dass kein zusätzlicher Fehler durch die Dimensionsreduktion entsteht. Für univariate Populationsbilanzsysteme wird in der Arbeit gezeigt, dass unter Benutzung von geeigneten Modellparametern für den Aggregationskern gute Übereinstimmungen zwischen den numerischen Resultaten und den experimentellen Messungen erzielt werden können. Für die Diskretisierung der Partikelgrößenverteilung für bivariate Populationsbilanzsysteme wird ein gemischtes Finite–Differenzen/Finite–Volumen–Verfahren benutzt. In diesem Fall wird gezeigt, dass sogar direkte Diskretisierungsmethoden zu qualitativ unterschiedlichen Lösungen führen können.