Hodge-Type Decompositions for Piecewise Constant Vector Fields on Simplicial Surfaces and Solids with Boundary

Abstract

This dissertation develops a theory for Hodge-type decompositions of piecewise constant vector fields (PCVF) on simplicial surfaces and solids with boundary in R3 which is structurally consistent with the corresponding results in the smooth world. First, the necessary differential-geometric and topological foundations of Hodge decomposition statements on smooth manifolds with boundary are reviewed, with a particular focus on a recent result by Shonkwiler which classifies certain harmonic fields as cohomology representatives for either the cohomology induced by the boundary components, or the "inner topology" of the manifold. Next, based on linear Lagrange, Crouzeix-Raviart and Nédélec elements, a discrete Hodge-Morrey-Friedrichs decomposition for PCVFs on simplicial surfaces and solids with boundary is derived. Of particular importance are the spaces H_N and H_D of discrete harmonic Neumann and Dirichlet fields, respectively, as they represent certain cohomology classes of the manifold and are therefore deeply linked to the topology of the simplicial manifold. For surfaces with boundary that come from a closed surface of genus g=0, one obtains a complete, L2-orthogonal five-term decomposition where both the spaces H_N and H_D appear as L2-orthogonal subspaces. On the other hand, if g>0, these two spaces are no longer orthogonal to each other, and there are now two orthogonal decompositions - one involving H_N, the other one involving H_D. A deep result in the smooth world states that the spaces of Neumann and Dirichlet forms always have a trivial intersection, but the corresponding result for the discrete spaces does not hold in general. Surprisingly, at this stage the combinatorics of the triangulating grid comes into play, and it becomes a matter of how the triangulation connects topologically rich regions with the boundary components to decide whether the statement holds true or not. Based on results by Lovász and Benjamini on weighted networks, a criterion is derived that guarantees the validity of the trivial-intersection result. Next, convergence of the derived decomposition statements is proved under the assumption that the simplicial geometry converges metrically against a smooth geometry. To this end, a seminal convergence result by Dodziuk on the approximation of smooth Hodge decomposition components by Whitney forms is generalized to include the refined discrete decompositions. One obtains convergence with respect to the L2-norm which is of linear order in the mesh size. The dissertation concludes with two central applications of this discrete Hodge theory: the computation of harmonic cohomology representatives and the computational decomposition of a given PCVF. For both applications, algorithms are presented and evaluated on various test models and the numerical aspects of the involved solving steps are discussed.

Die vorliegende Arbeit entwickelt eine diskrete Theorie von Hodge-artigen Zerlegungssätzen für den Raum der stückweise konstanten Vektorfelder auf orientierten, simplizialen Flächen mit Rand und simplizialen dreidimensionalen Gebieten in R^3. Ein besonderer Schwerpunkt liegt dabei auf einer konsistenten Diskretisierung sowohl bezüglich geometrischer als auch bezüglich topologischer Eigenschaften, die sich in Teilräumen konkreter Repräsentanten für Kohomologiegruppen manifestieren. Dazu werden zunächst die differentialgeometrischen und topologischen Grundlagen der glatten Theorie für n-dimensionale berandete Mannigfaltigkeiten zusammengefasst. Neben den klassischen Hodge-Zerlegungssätzen wird insbesondere auf ein aktuelles Resultat von Shonkwiler eingegangen, das harmonische Felder klassifiziert, welche es erlauben, nicht-triviale Kohomologie induziert durch die Randkomponenten von der "inneren Kohomologie" der Mannigfaltigkeit zu unterscheiden. Basierend auf linearen Lagrange- und Crouzeix-Raviart- Ansatzräumen sowie kantenbasierten Nédélec-Elementen wird dann zunächst die Diskretisierung für den Flächenfall entwickelt. Dabei fällt den Definitionen der Räume der diskret-harmonischen Neumann- und Dirichlet-Felder besondere Bedeutung zu. Für allgemeine Flächen von Genus g>0 mit m Randkomponenten erhält man diskrete Analoga der Hodge-Morrey-Friedrichs-Zerlegungen, die um die Differenzierung von Shonkwiler erweitert werden. Speziell für g=0 erhält man eine vollständige Fünf-Term-Zerlegung. Vergleichbare Resultate werden für den Fall dreidimensionaler, simplizialer, eingebetteter Gebiete in R^3 erzielt. Ein tiefes Resultat im Glatten besagt, dass der Schnitt der Räume der Neumann- und Dirichlet-Formen stets trivial ist. Die vergleichbare Aussage gilt im Diskreten jedoch im Allgemeinen für Flächen mit g>0 nicht. Vielmehr spielt hier auf erstaunliche Weise die Kombinatorik des Gitters eine entscheidende Rolle, die topologisch reichhaltige Teilregionen der Geometrie mit der Gitterkonnektivität zum Rest der Geometrie in Verbindung setzt. Dazu wird ein Kriterium an das Gitter aufgestellt, dass die Gültigkeit der diskreten Aussage garantiert. Nach der Entwicklung der konsistenten Diskretisierung wird nun die Konvergenz der diskreten Zerlegungen bewiesen. Dafür wird zunächst ein fundamentales Resultat von Dodziuk zur Konvergenz von Whitney-Formen auf einer glatten Referenz-Triangulierung auf die erweiterten Zerlegungen verallgemeinert. Anschließend werden die verfeinerten Zerlegungen bezüglich einer Folge approximierender Metriken untersucht. Setzt man Konvergenz der Metriken gegen die Metrik der glatten Referenzgeometrie voraus, konvergieren auch die Zerlegungen, die orthogonal bezüglich der approximierenden Metriken sind. Schließlich erhält man die Konvergenz der Rückzüge der diskreten Zerlegungen gegen die glatten Zerlegungen. Die Arbeit schließt ab mit zwei zentralen Anwendungen der diskreten Hodge-Theorie in der mo\\-der\\-nen Geometrieverarbeitung: Zum einen werden Algorithmen zur Berechnung orthogonaler, harmonischer Basen für die topologisch relevanten Teilräume vorgestellt. Zum anderen wird ein Verfahren zur numerischen Berechnung von Zerlegungen für ein gegebenes stückweise konstantes Vektorfeld beschrieben und evaluiert. Dazu werden Stereotypen von repräsentativen glatten Feldern auf simplizialen Geometrien interpoliert und die Komponenten der Zerlegung mit den Komponenten der glatten Zerlegung verglichen.