Cauchy-Pompeiusche Integraldarstellungen in der Clifford Analysis

Abstract

Die Clifford Algebra stellt eine Erweiterung des Zahlbegriffs über den Körper der komplexen Zahlen und den Schiefkörper der Quaternionen hinaus dar. In dieser Arbeit wird eine spezielle Clifford Algebra, bei der alle erzeugenden Vektoren (außer des ersten, der Eins) antikommutativ sind, verwendet. Es werden nur elementare Kenntnisse über diese Algebra vorausgesetzt. Differenziationsregeln werden gegeben. Behandelt werden hauptsächlich Integraldarstellungen. Diese sind nützlich, um Differenzialgleichungen für differenzierbare Funktionen zu lösen, aber auch um Eigenschaften der dargestellten Funktionen zu finden. In der komplexen Analysis sind die Cauchy Formel für analytische Funktionen und die Greensche Darstellung für harmonische Funktionen bekannt. Für die zugehörigen inhomogenen Gleichungen, die inhomogene Cauchy-Riemann Gleichung bzw. die Poisson Gleichung, gibt es entsprechende Darstellungsformeln, die Cauchy-Pompeiu bzw. die allgemeine Greensche Formel. Durch Iteration erhält man daraus Darstellungen höherer Ordnung. Man verwendet sie, um Differenzialgleichungen höherer Ordnung in singuläre Integralgleichungen umzuwandeln und so zu lösen. Dieses Prinzip lässt sich auch in der Quaternionen Analysis und, allgemein, der Clifford Analysis anwenden. In der Clifford Analysis betrachtet man analog zum komplexen Fall den Diracoperator und den konjugierten Diracoperator. Im Rahmen dieser Arbeit wird eine Lösung einer (mit Einschränkungen) allgemeinen Differenzialgleichung in Potenzen dieser beiden Operatoren gegeben.

A generalization of the quaternionic-algebra of Hamilton is the Clifford- algebra. In this thesis, a special Clifford-algebra is used in which the generating vectors are anticommutative (except the first). Only basic knowledge of this kind of algebra is needed. Rules of differentiation are given. Mainly integral representation formulas are dealt with. They are useful for solving differential equations and to determine the properties of the used functions. In complex-analysis the Cauchy-formula for analytic functions and the Green-formula for harmonic functions are well-known. For the corresponding inhomogenous equations, the inhomogenous Cauchy-Riemann-equation and the Poisson-equation, representation formulas, namely the Cauchy-Riemann and the general Green-formula are given. Equations of higher order are generated by iteration. They are useful in order to convert higher order differential equations into singular integral equations and thus to solve them. This method may also be used in quaternionic and, more generally, in Clifford-analysis. Within Clifford analysis, the Dirac operator and the conjugate Dirac operator are considered in analogy to the complex case. This thesis provides a solution (with restrictions) of a general differential equation in powers of these two operators.