Three interesting lattice polytope problems

Abstract

As the title suggests, this thesis is about three interesting lattice polytope problems. Chapter 2 is about classifying lattice polytopes and we show that in every dimension d there is a number W(d), called the finiteness threshold width, such that there are only finitely many lattice polytopes of bounded size whose lattice width is bigger than W(d). In particular we can show that W(d) is at least d-1 and at most O(d^(3/2)). In dimension 3 it was already known that W(3)=1. In Chapter 2, we develop on the one hand conditions on when a hollow d-polytope has finitely many lifts and on the other hand conditions on when a hollow d-polytope has infinitely many lifts. Using these results we can show that the finiteness threshold width in dimension 4 is 2, i.e. W(4)=2. The question if d-polytopes with long edges have the integer decomposition property (IDP) was answered by Gubeladze, who could show that if the lattice length of every edge of the polytope is at least 4d(d+1), then it has the IDP. For that he introduces the new notation of k-convex-normality. In the first part of Chapter 3, we further study k-convex-normality and are able to prove some basic results which allow us to improve the bound to 2d(d+1). In the second part of chapter 3 we generalize k-convex-normality to pairs of polytopes and get the following result. Given two d-dimensional lattice polytopes P and Q, where the normal fan of P is a refinement of the normal fan of Q. If additionally the lattice length of every edge in P is at least d times the lattice length of the corresponding face (edge or vertex) in Q, then every lattice point in the Minkowski sum Q+P can be written as a sum of a lattice point in Q and a lattice point in P. In Chapter 4, we look at two curious results that were generalized recently. The first one is that for a 2-dimensional reflexive polytope P the sum of the numbers of lattice points on the boundary of P and the boundary of its polar dual P* is 12. The second one is that for a 3-dimensional reflexive polytope P the sum over all products l(e)l(e*) is 24, where e* is the edge in P* that corresponds to the edge e in P. Recently these results were generalized to smooth reflexive d-polytopes. In Chapter 4, we first show that this equation also holds for complete unimodular fans. Following that, we show that all equations that hold on extended h-vectors of complete unimodular fans are linear combinations of this equation and the well-known Dehn-Sommerville equations.

Den Kern der vorliegenden Arbeit bilden, wie der Titel deutlich macht, drei interessante Gitterpolytopprobleme. Diese werden in den Kapiteln 2, 3 und 4 behandelt. Kapitel 2 dreht sich um das Problem der Klassifizierung von Gitterpolytopen. Wir zeigen hier, dass in jeder Dimension d eine Zahl W(d), die Endlichkeitsgrenzweite, existiert, sodass es nur endlich viele d-Gitterpolytope mit einer gegebenen Anzahl an Gitterpunkten gibt, deren Gitterweite größer als W(d) ist. Insbesondere zeigen wir, dass W(d) mindestens den Wert d-1 und maximal O(d^(3/2)) annimmt. In Dimension 3 war vorher schon bekannt, dass W(3)=1. Im Laufe des Kapitels erarbeiten wir dann Voraussetzungen, unter denen ein hohles d-dimensionales Gitterpolytop endlich bzw. unendlich viele Rückziehungen hat. Diese ermöglichen uns dann die Frage auch für Dimension 4 zu beantworten. In diesem Fall ist die Endlichkeitsgrenzweite 2. Hinter Kapitel 3 steht die Frage, ob d-dimensionale Gitterpolytope mit langen Kanten immer ganz abgeschlossen sind. Diese Frage hat Gubeladze mit ja beantwortet, indem er gezeigt hat, dass wenn jede Kante eines Polytops mindestens Gitterlänge 4d(d+1) hat, das Polytop zwangsläufig ganz abgeschlossen ist. Hierzu führte er den Begriff der Konvex-Normalität ein. Diesen beleuchten wir hier näher und können einige grundlegende Aussagen dazu treffen, welche uns im Folgenden dazu befähigen die Schranke auf 2d(d+1) zu verbessern. Danach betrachten wir Paare von Polytopen und verallgemeinern hierfür den Begriff der Konvex-Normalität und können damit das folgende Resultat zeigen. Gegeben zwei d-dimensionale Gitterpolytope P und Q. Wenn der Normalenfächer von P eine Verfeinerung des Normalenfächers von Q ist, und zusätzlich jede Kante in P mindestens d-mal so lang ist, wie die dazu korrespondierende Seite (Kante oder Ecke) von Q, dann können alle Gitterpunkte in der Minkowski-Summe P+Q als Summe eines Gitterpunktes in P und eines Gitterpunktes in Q geschrieben werden. In Kapitel 4 greifen wir zwei verblüffende Sätze auf, die erst vor Kurzem eine Verallgemeinerung erfahren haben. Der Erste besagt, dass für ein reflexives Polytop P in Dimension 2, die Summe aus der Anzahl der Gitterpunkte auf dem Rand von P und der Anzahl der Gitterpunkte auf dem Rand von P*stets 12 ergibt. Für den Zweiten, bezeichne l(e) die Gitterlänge eines Gittersegments e. Dann gilt für ein reflexives Polytop P in Dimension 3, dass die Summe über alle Produkte l(e)l(e*) 24 ergibt. Hierbei ist e* die zu e korrespondierende Kante in P*. Für diese beiden Gleichungen für reflexive 2- bzw. 3-Polytope wurde vor Kurzem eine Verallgemeinerung für glatte reflexive d-dimensionale Polytope gefunden. In Kapitel 4 zeigen wir zweierlei. Erstens, dass diese neue Gleichung auch für vollständige unimodulare Fächer gilt. Und zweitens, dass es abgesehen von dieser neu gefundenen Gleichung und den wohlbekannten Dehn-Sommerville Gleichungen keine weiteren unabhängigen Gleichungen gibt, die für alle erweiterten h-Vektoren von vollständigen unimodularen Fächern gelten.