Metastability of Markovian systems: A transfer operator based approach in application to molecular dynamics

Abstract

Algorithmic approaches for the identification of essential statistical behavior have successfully been applied to study deterministic dynamical systems and molecular systems in a Hamiltonian context. This thesis unifies and extends theory and algorithmic concepts from the formerly considered special classes of dynamical systems to the broader class of Markovian systems. We provide a detailed analysis of metastability and a new theoretical justification of the transfer operator based approach to metastability (Sec. 3). It is based on an instructive theorem (Theorem 3.1) specifying the relation between eigenvalues close to 1 and the existence of a decomposition into metastable subsets. This thesis contributes new links between spectral properties of transfer operators and well established Doeblin and ergodicity conditions for Markov processes and operators (Thms.4.13, 4.24, 4.31). We obtain a rather complete understanding in the L1 setting for general Markov processes (Secs.4.2,4.3), and for the L2 setting in the case of reversible Markov processes (Sec. 4.4). This allows us to successfully extend the concepts to new model systems, and we investigated for the first time the essential statistical behavior of the Langevin and the Smoluchowski equation in comparison with the Hamiltonian system with randomized momenta. We furthermore suggested an algorithmic indicator for the essential spectral radius (Sec. 5.1), which proved to be useful in application to our test system. We outlined the strategies for studying larger molecular systems and successfully demonstrate its application to the study of the triribonucleotide r(ACC) (Sec. 7).

Algorithmische Zugänge zum Studium des wesentlichen statistischen Verhaltens sind erfolgreich zur Untersuchung deterministischer dynamischer Systeme sowie Hamilton'scher molekularer Systems angewandt worden. Diese Dissertationsschrift vereint und erweitert die bisher verwandten Konzepte von den oben erwähnten, speziellen dynamischen Systemen auf die große Klasse der Markov'schen Systeme. Wir untersuchen im Detail das Phänomen der Metastabilität und geben eine neue theoretische Rechtfertigung für eine Identifizierung metastabiler Mengen basierend auf spektralen Informationen des zugrundeliegenden Transfer-Operators. Sie basiert auf einem instruktiven Satz, welcher den Zusammenhang zwischen Eigenwerten in der Nähe der 1 und der Existenz metastabiler Mengen darlegt. Wir zeigen neue Verbindungen zwischen spektralen Eigenschaften des Transfer-Operators und bekannten ergodischen Eigenschaften von Markov-Prozessen sowie der Döblin-Bedingung auf. Alles in allem erhalten wir eine nahezu vollständinge Theorie für den L1-Fall sowie im L2-Fall für die Klasse der reversiblen Markov-Prozesse. Dieses erlaubt uns, die Konzepte auf neue Typen von Markov-Prozessen erfolgreich anzuwenden. Wir untersuchen erstensmals die Langevin- und Smoluchowski-Gleichung im Vergleich zum stochastischen Hamilton'schen System. Desgleichen schlagen wir einen numerischen Indikator für den essentiellen Spektralradius vor, der sich in Anwendung auf die Testbeispiele sehr bewährt hat. Wir geben eine Überblick über die Strategien, welche bei der Anwendung auf große molekulare Systeme von Bedeutung sind und zeigen ihr Umsetzung bei der Untersuchung des Triribunokleotids r(ACC).