Data-Driven Discrete Spatio-Temporal Models: Problems, Methods and an Arctic Sea Ice Application

Abstract

Many natural phenomena are governed by forces on multiple spatial and temporal scales. Yet, it is often not a computationally feasible option to describe the intrinsically multiscale interactions via a deterministic model. Consequently, there is a need to go beyond purely deterministic modeling and to use stochastic processes to describe the unresolved scales of a system. Here the considered process is assumed to be Markovian, i.e., the state probability depends only on the previous state. Yet, the standard Markov model does not allow to incorporate external influences that drive the considered system. A modeling approach, addressing this issue, has been proposed by Illia Horenko who suggested a model ansatz that incorporates available influences and is applicable to identify time discrete Markov processes with a finite state space. The unknown model matrices can be identified by means of an available time-series via parametrization tools such as the FEM-BV clustering approach. As in most realistic applications not all relevant quantities are directly accessible; a central challenge is that such approaches are confronted with the problem of missing information from unresolved or unmeasured scales. Unfortunately, standard data-based analysis techniques often lack the option to take these missing factors into account, leading to biased and distorted results when confronted with this particular problem. As recently demonstrated by Illia Horenko in the context of modeling discrete processes, such systematically missing or implicit information can be taken into account via a non-stationary model. In this thesis, the existing Markov regression framework is extended for modeling of discrete stochastic processes with an additional spatial component. In that context, the general problem of finding an adequate data-based description of the considered spatio-temporal process in the absence of relevant information is addressed. In purely time-dependent cases, unresolved governing quantities lead to a non-stationary model structure. In this thesis, it is shown that time as well as location-dependent processes that are driven by unavailable influences can be adequately described via non- stationary, non-homogenous models. A numerical approach to treat these new structural properties of the model is proposed and implemented. Further, the theoretically verified abilities of the proposed non-stationary, non- homogenous Markov regression are also experimentally confirmed for an artificial test system. In particular, the characteristic property to recognize influences that are not directly accessible is experimentally verified. Furthermore, the proposed framework is successfully used to gain a deeper understanding of the dynamics underlying the arctic sea ice extent.

Prozesse in natürlichen dynamischen Systemen mit skalenübergreifenden Wechselwirkungen können oft nicht zufriedenstellend mit rein deterministischen Modellen beschrieben werden. Daher ist eine stochastische Beschreibung in vielen Fällen eine gute Alternative, um diese Wechselwirkungen zu simulieren. Hier werden die sogenannten Markov-Prozesse, Prozesse die nur von ihrem vorherigen Zustand abhängen, betrachtet. In der Realität werden diese Dynamische Systeme häufig von äußeren Faktoren angetrieben. Da ein Standard- Markov-Prozess keine direkte Modellierung dieser treibenden Einflüsse erlaubt, wurde ein Markov-Modell mit einer speziellen Struktur, die es erlaubt, diese externen Faktoren linear in die Modellparameter einfließen zu lassen, von Illia Horenko entwickelt. Zusätzlich wurde von ihm gezeigt, dass Faktoren, zu denen kein direkter Zugang besteht, durch eine explizite Zeitabhängigkeit der Modellparameter beschrieben werden können. Anhand von Beobachtungsdaten ist es möglich, diese Modellparameter zu approximieren. Die zugehörige Methode, die diese Art von Modellierung von diskreten Prozessen mit nicht-stationären Modellparametern erlaubt, wird FEM-BV-Clustering-Ansatz genannt. Da die meisten Systeme nicht auf eine rein zeitliche Entwicklung beschränkt sind, sondern auch eine räumliche Dynamik aufweisen, wurde in dieser Dissertation eine räumliche Erweiterung des Markov-Modells und der zugehörigen FEM-BV- Clustering-Methode entwickelt und getestet. Dabei wurde gezeigt, dass, wie schon in der rein zeitlichen Beschreibung, jeglicher Einfluss impliziter (sprich unaufgelöster) Faktoren durch eine explizit zeitliche und nun auch räumliche Abhängigkeit ausgedrückt werden kann. Diese theoretische Eigenschaft des Modells wurde experimentell anhand von künstlichen Testsystemen überprüft. Hierfür wurde der bestehende FEM-BV-Clustering-Algorithmus erweitert, um auch räumliche Modelle bestimmen zu können. Im direkten Vergleich mit Standardmethoden schneiden die neuen Me-thoden für die gewählten Testsysteme sehr gut ab. Insbesondere für den betrachteten Prozess mit vielen unaufgelösten Faktoren, an dem die benutzten Standardmethoden (d.h. Support Vector Machines und Künstliche neuronale Netze) scheitern, ist das erweiterte Markov-Modell überlegen. Zusätzlich wurde das in dieser Arbeit entwickelte erweiterte Markov-Modell genutzt, um die räumliche und zeitliche Entwicklung von Aggregatzuständen von Wassermolekülen in der Arktis zu beschreiben. Dieser unter physikalischen Gesichtspunkten unvoreingenommene datenbasierte Ansatz kann zudem neues Licht auf Aspekte werfen, die durch die üblichen Methoden (z.B. Klimamodelle) nicht zum Vorschein gebracht werden können. Mit Hilfe des errechneten Modells konnten qualitativ hochwertige Simulationen der Daten erzeugt werden. Außerdem wurden statistische Einflusswerte für alle involvierten expliziten Faktoren bestimmt.