Exotic components of the toric Hilbert scheme

Abstract

This dissertation is concerned with the analysis and the construction of the irreducible components of toric Hilbert schemes. The toric Hilbert scheme parametrises all ideals in a given multigraded ring, that have the same multigraded Hilbert function as the toric ideal. This scheme has been developed and investigated by V. Arnol`d, B. Sturmfels, I. Peeva, M. Stillman, D. Maclagan, R. Thomas and others. It is known that the toric ideal lies on a unique and hence distinguished irreducible component of the toric Hilbert scheme, the so-called coherent component. The normalisation of the coherent component is the toric variety given by the Groebner fan of the toric ideal. A toric Hilbert scheme can in addition contain further irreducible components, the so-called non-coherent components. Results from M. Haiman and B. Sturmfels show that the underlying reduced structure of each non-coherent component is a projective toric variety. This means that also the non-coherent components, to be precise their normalisations are given by polyhedral fans. The main part of this thesis presents and explains the explicit construction of so-called generalised universal families which parametrise the non-coherent components. We show moreover that the normalisation of the corresponding non-coherent component is in fact the toric variety associated to the generalised universal family. This construction enables one to compute concrete examples which show amongst others that there exist toric Hilbert schemes where two components intersect in the union of orbits, or not. Furthermore, there are schemes with embedded components, even in the coherent component. Another application of this construction is the stratification of a toric Hilbert scheme with respect to the possible subtorus actions. We show that each stratum is given by a union of faces of the polytopes describing the components. Closing, for a given lattice polytope Q we give the description of the moduli space of stable toric pairs with pointed subdivision of Q according to V. Alexeev. Then we assemble a correspondence between orbits in the toric Hilbert scheme of the lattice points of Q and strata in the moduli space of stable toric pairs, that correspond to the same subdivision of Q. This correspondence connects in particular the coherent components of the two spaces.

Diese Dissertation befasst sich mit der Analyse und Konstruktion der irreduziblen Komponenten von torischen Hilbert Schemata. Das torische Hilbert Schema parametrisiert alle Ideale in einem gegebenen multigraduierten Ring, die dieselbe multigraduierte Hilbertfunktion haben wie das torische Ideal. Dieses Schema wurde von V. Arnol`d, B. Sturmfels, I. Peeva, M. Stillman, D. Maclagan, R. Thomas und anderen entwickelt und untersucht. Es ist bekannt, dass das torische Ideal auf einer eindeutigen und somit ausgezeichneten irreduziblen Komponente des torischen Hilbert Schemas liegt, der sogenannten kohärenten Komponente. Die Normalisierung der kohärenten Komponente ist die torische Varietät, die durch den Gröbner Fächer des torischen Ideals gegeben ist. Darüber hinaus kann ein torisches Hilbert Schema weitere irreduzible Komponenten, die sogenannten nicht-kohärenten Komponenten besitzen. Durch Ergebnisse von M. Haiman und B. Sturmfels wird gezeigt, dass die zugrunde liegende reduzierte Struktur jeder nicht-kohärenten Komponente eine projektive torische Varietät ist. Das bedeutet, dass auch die nicht-kohärenten Komponenten, respektive deren Normalisierungen durch polyedrische Fächer gegeben sind. Der Hauptteil dieser Dissertation besteht aus der expliziten Konstruktion von sogenannten verallgemeinerten universellen Familien, die die nicht-kohärenten Komponenten parametrisieren. Überdies zeigen wir, dass die Normalisierung der zugehörigen nicht-kohärenten Komponente die torische Varietät assoziiert zum Gröbner Fächer der verallgemeinerten universellen Familie ist. Diese Konstruktion ermöglicht die Berechnung konkreter Beispiele, die unter anderem zeigen, dass es torische Hilbert Schemata gibt, bei denen der Schnitt zweier Komponenten die Vereinigung von Orbits sein kann aber nicht muss. Darüber hinaus gibt es Schemata mit eingebetteten Komponenten, sogar in der kohärenten Komponente. Eine weitere Anwendung der Konstruktion ist die Stratifizierung des torischen Hilbert Schemas anhand der möglichen Subtorus Wirkungen. Wir zeigen, dass jedes Stratum durch die Vereinigung von Seiten der Polytope gegeben ist, die die Komponenten beschreiben. Abschließend geben wir für ein Gitterpolytop Q die Beschreibung des Modulraums der stabilen torischen Paare mit punktierter Zerlegung von Q nach V. Alexeev an. Dann stellen wir eine Beziehung zwischen Orbits des torischen Hilbert Schemas, gegeben durch die Gitterpunkte von Q, und Strata im Modulraum der stabilen torischen Paare, die der gleichen Unterteilung von Q entsprechen, her. Insbesondere verbindet diese Beziehung genau die kohärenten Komponenten beider Räume.