Basic complex boundary value problems in in the upper half plane

Abstract

In analysis integral representations for functions play a significant role. This in the case in particular in view of ordinary and partial differential equations. Those differential equations appear in most problems of applied mathematics. Generally integral representations are formulated for regular domains with (piece-wise) amooth boundary. In the center of my investigations are integral representations in complex analyis. Here are Cauchy formula and (as a special case) the Schwarz formula in general known. These representations refer to analytic functions. Considered from the theory of differential equations they are the solutions of the Cauchy-Riemann differential equation. More generally functions from the Sobolev space are representable with the help pf the Cauchy-Pompeiu formula, which in the case of the Cauchy-Riemann equation considers with the Cauchy formula. These representations include besides the classical Cauchy-Pompeui formula also the Green representation formula for the Poisson equation. This hierarchy of integral representations is developed from the Gauss integral theorem and arises in an iterative way. The Cauchy-Pompeiu integral representations have proved useful still in other regard. The kernel functions, which are basic solutions of certain differential operators are expressible as derivations of suitable polyharmonic Green functions. Thus separation of the integral representation is achieved is a sum of terms, one belonging to the kernel of the involved differential operator the othe from the orthogonal complement of this kernel. This is done for regular domains. Applications and generalizations have been found. For special domains the integral representations are explicit, as soon as the Green functions of any order are known. This is the case for the unit circle. In my work the situation is examined for the upper half plane.

In der Analysis spielen Integraldarstellungen für Funktionen eine bedeutende Rolle. Dies gilt insbesondere im Hinblick auf gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen. Solche Differentialgleichungen wiederum tauchen bei den meisten Problemen der angewandten Mathematik auf. In der Regel werden Integraldarstellungen auf reguläre Gebiete formuliert, also für beschränkte Gebiete mit (stückweise) glattem Rand. Im Mittelpunkt meiner Untersuchungen stehen Integraldarstellungen in der komplexen Analysis. Hier sind die Cauchy- Formel und (als Abwandlung) die Schwarz-Formel allgemein bekannt. Diese Darstellungen beziehen sich auf analytische Funktionen, also, von der Theorie der Differentialgleichungen aus betrachtet, auf die Lösungen der Cauchy- Riemannschen Differentialgleichung. Allgemeiner lassen sich Funktionen aus dem Sobolev-Raum mit Hilfe der Cauchy-Pompeiu-Formel darstellen, die im Fall des Erfüllsteins der Cauchy-Riemann-Gleichung mit der Cauchy-Formel zusammenfällt. Diese Darstellungen schließen neben der klassischen Cauchy-Pompeiu-Formel auch die Greensche Darstellungsformel für die (inhomogene) Laplace-Gleichung ein. Diese Hierarchie von Integraldarstellungen wird aus dem Gausschen Integralsatz entwickelt und ergibt sich auf iterativem Wege. Die Cauchy-Pompeiuschen Integraldarstellungen haben sich noch in anderer Hinsicht als nützlich erwiesen. Die Kernfunktionen, die Fundamentallösungen gewisser Differentialoperatoren sind, lassen sich durch Ableitungen von geeigneten polyharmonischen Green Funktionen ausdrücken. Dadurch erreicht man eine Aufspaltung der Integraldarstellung in eine Summe von Termen, die zum Kern des involvierten Differentialoperators gehören, zu der ein weiteres Integral addiert wird. In regulären Gebieten ist dies bisher erfolgt. Anwendungen und Verallgemeinerungen sind gefunden worden. Für spezielle Gebiete sind die Integraldarstellungen explizit, sobald die Greenschen Funktionen beliebiger Ordnung für dieses Gebiet bekannt sind. Dies ist für den Einheitskreis der Fall. In meiner Arbeit wird die Situation für die obere Halbebene untersucht.