We address the following geometric question: for a given \( d \geq 1 \) and a given \( k \geq 1 \), what is the smallest number \( N \) such that there exists a continuous map \( f \colon \mathbb R^d \to \mathbb R^N \) with the property that, for any points \( (x_1, \ldots, x_k) \in \mathbb R^d \) their images \( (f(x_1), \ldots, f(x_k)) \in \mathbb R^N \) are linearly independent? A map satisfying this condition is known as \emph{\( k \)-regular}. Naturally, one can pose an analogous question for the case where the target space is \( \mathbb C^N \) and the images are \( \mathbb C \)-linearly independent.
This question appeared in the work of Karol Borsuk in the 1950s. In the 1970s, Frederick R. Cohen and David Handel translated the problem of finding lower bounds for \( N \) into a question about the (non-)existence of vector bundles over the \emph{space of \( k \) distinct points in \( \mathbb R^d \)}, thereby initiating the use of algebraic topology to tackle the problem. This approach has since been developed by various authors. In this thesis, we also work on the side of algebraic topology to improve the existing lower bounds for $N$.
More specifically, in this thesis, we are working to show that certain real or complex vector bundles must necessarily be of rank at least $N-k$. This achieved by demonstrating that the largest index of a non-zero characteristic class - Stiefel--Whitney in the real case and reduced mod-$p$ Chern in the complex case - must be at least $N-k$. To be able to reason about these characteristic classes, in Section 2, we study in detail the cohomology rings in which they reside. Then in Section 3 we review the constructions of the vector bundles that we would like to study and review known results about their characteristic classes. In Section 4, we describe potential approaches for obtaining the lower bounds and provide several computations that improve upon existing results.
Lastly, to facilitate our computations, we make certain simplifications by transitioning to a more tractable cohomology ring. A natural question arises: is there potential to obtain even better bounds by working in the original ring? We provide a partial answer to this question in Section 5. By employing an approach existing in the literature for working in characteristic 2, we show in Section 5 that, when the characteristic is odd and \( d \) is odd, the map of cohomology rings is injective. Consequently, the transition to a simpler ring in these cases still produces the best bounds that can be achieved using the method of Cohen and Handel.
Wir befassen uns mit der Frage nach der kleinsten Zahl $N$, für die eine stetige Abbildung $f\colon \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^N$ existiert, mit der Eigenschaft, dass für $k$ beliebige Punkte $(x_1,\ldots , x_k)\in\mathbb{R}^d$ die Bilder $(f(x_1),\dots , f(x_k))\in\mathbb{R}^N$ stets linear unabhängig sind. Eine solche Abbildung heißt \emph{$k$-regulär}. Eine analoge Frage ergibt sich, wenn als Zielraum der Abbildung der $\mathbb{C}^N$ herangezogen, und jeweils von den Bildern $\mathbb{C}$-lineare Unabhängigkeit gefordert wird.
Diese Frage wurde in den 1950er Jahren von Karol Borsuk formuliert. In den 1970er Jahren übersetzten Frederick~R.~Cohen und David Handel die Frage nach möglichen unteren Schranken für $N$ in ein Problem über die Existenz gewisser Vektorbündel über dem \emph{Konfigurationsraum $k$ verschiedener Punkte in $\mathbb{R}^d$} und begannen damit die Suche nach einer Lösung des Problems mit Mitteln der algebraischen Topologie. Ihr Ansatz wurde von mehreren Autoren weiterentwickelt.
Dieser Herangehensweise folgend zeigen wir in der vorliegenden Arbeit, dass gewisse reelle oder komplexe Vektorbündel notwendigerweise einen Rang von mindestens $N-k$ haben. Dies wird durch den Nachweis erreicht, dass der größtmögliche Index einer nicht verschwindenden charakteristischen Klasse -- einer Stiefel--Whitney-Klasse im reellen Fall und einer reduzierten Modulo-$p$-Chern-Klasse im komplexen Fall -- mindestens $N-k$ beträgt.
Um anhand dieser charakteristischen Klassen argumentieren zu können, untersuchen wir im Abschnitt 2 ausführlich die Kohomologieringe, in denen diese liegen. Anschließend widmem wir uns im Abschnitt 3 den Konstruktionen der jeweils zu untersuchenden Vektorbündel sowie einigen bereits bekannten Ergebnissen, die ihre charakteristischen Klassen betreffen. Im Abschnitt 4 beschreiben wir mögliche Ansätze zur Bestimmung unterer Schranken und führen verschiedene Berechnungen durch, deren Ergebnisse die bestehenden verbessern.
Wir erreichen einige Vereinfachung, indem wir zu einem unseren Berechnungen zugänglicheren Kohomologiering übergehen. Dabei taucht die natürliche Frage auf, ob durch das Studium des ursprünglichen Kohomologierings bessere Schranken erhalten werden können. Im Abschnitt 5 geben wir eine Teilantwort auf diese Frage, indem wir für den Fall ungerader Charakteristik und ungerader Dimension $d$ zeigen, dass eine entsprechende Abbildung zwischen den Kohomologieringen injektiv ist. Dabei bedienen wir uns einer für den Fall der Charakteristik $2$ bereits bekannten Herangehensweise. In der Folge liefert der übergang zum einfacheren Kohomologiering in den genannten Fällen keine schlechtere als die unter Verwendung der Methode von Cohen und Handel durch Betrachtung des ursprünglichen Kohomologierings möglicherweise erreichbare Schranke.
