Fast solvers for heterogeneous saddle point problems arising from phasefield-models

Abstract

The aim of this thesis is to construct efficient numerical solvers for linear saddle point problems arising from discretizations of phase-field models.

We are particularly interested in systems of Cahn–Hilliard and Penrose–Fife types. The numerical approximation of these models leads to large-scale nonsmooth nonlinear saddle point problems that have be solved in each time step. To efficiently treat these nonlinear problems, there is an efficient generalized Newton approach (NSNMG). Our attention then turns to the subproblems generated by the NSNMG method. More precisely, the NSNMG generates large linear saddle point problems whose solutions dominate the total computational time. Classical multigrid methods applied directly to these problems typically lack robustness.

These linear saddle point problems are heterogeneous in the sense that they can be decoupled into an elliptic problem on one part of the domain and a smaller-sized linear saddle point problem with the same structure on the remaining part of the domain. We develop and analyze an efficient and fast-converging domain decomposition algorithm in the context of Cahn–Hilliard equations.

For the (multi-phase) Penrose–Fife equations, we develop a symmetric positive definite Schur complement preconditioner, which is based on a spectrally equivalent approximation of the actual Schur complement.

Das Ziel dieser Arbeit besteht darin, schnelle und robuste Lösungsverfahren für große Gleichungssysteme mit speziellen Strukturen sowie hoher Komplexität zu entwickeln. Besondere Aufmerksamkeit widmen wir einem Cahn-Hilliard-Modell sowie einem Mehrphasen-Penrose-Fife-Modell. Durch die Anwendung numerischer Näherungsverfahren auf beide Modelle entsteht in jedem Zeitschritt ein nichtlineares Sattelpunktproblem. Für die Lösung solcher Probleme wird ein effizientes Newton-Verfahren (NSNMG) verwendet, das in jedem Teilschritt ein nun lineares Sattelpunktproblem löst. Das Hauptziel dieser Arbeit besteht in der effizienten Lösung dieses linearen Problems. Als erstes Hauptergebnis dieser Arbeit entwickeln wir einen symmetrisch positiv definiten Schur-Komplement-Vorkonditionierer für das Mehrphasen-Penrose-Fife-Modell, der auf einer Annäherung des Schur-Komplements basiert. Ferner zeigen wir, dass diese vorgeschlagene Annäherung unter milden Bedingungen spektraläquivalent zum tatsächlichen Schur-Komplement bleibt, und dies unabhängig von den kritischen Problemparametern. Diese Resultate basieren auf unseren Erkenntnissen zu einem Zwischenergebnis, bei dem wir verschiedene „ideale“ blockdiagonale sowie tridiagonale Vorkonditionierer aus der Literatur für das betrachtete Sattelpunktproblem erweitert haben. Dabei haben wir sowohl Fälle mit negativem Vorzeichen für das Schur-Komplement als auch Fälle mit Linksvorkonditionierung untersucht. Als zweites Hauptergebnis dieser Arbeit entwickeln wir einen iterativen Gebietszerlegungsalgorithmus für das lineare Sattelpunktproblem, welches aus der Cahn-Hilliard-Gleichung hervorgeht. Dieser Algorithmus kann zudem als Vorkonditionierer eingesetzt werden. Durch die Einschränkung der Primalvariable auf einen Unterraum wird die Grundlage für eine Gebietszerlegung geschaffen. Dadurch lässt sich das lineare Sattelpunktproblem als ein gekoppeltes System darstellen, das aus einem elliptischen Hindernisproblem sowie einem kleineren linearen Sattelpunktproblem besteht. Letzteres weist eine deutlich geringere Komplexität auf. Basierend auf dieser Grundlage entwickeln wir einen Algorithmus, der auf einer Alternation der beiden Teilprobleme beruht und dabei geeignete Übergangsbedingungen berücksichtigt. Diesen Algorithmus nennen wir den Dirichlet-Neumann-Algorithmus und zeigen seine Konvergenz sowohl in Sobolev-Räumen als auch in Finite-Elemente-Räumen. Numerische Beispiele belegen die Effektivität der neuen Lösungsmethode.