Double posets and real invariant varieties: Two interactions between combinatorics and geometry

Abstract

In 1986, Richard Stanley associated to a finite poset two polytopes, the order and chain polytope, which geometrically reflect the combinatorics of the underlying poset. In the first part of this thesis, we develop a similar theory for double posets, defined by Malvenuto and Reutenauer. We associate to every double poset P a double order polytopes TO(P) and a double chain polytope TC(P). Chapter 1 treats double order polytopes. We show that for compatible double posets, the facets of TO(P) correspond to alternating chains in P. Moreover, we characterize the 2-level polytopes of the form TO(P) and we establish a connection to Geissinger’s valuation polytopes. In Chapter 2 we look at the toric ideals of TO(P). In the compatible case, we obtain a quadratic Gröbner basis and a corresponding unimodular regular trianguation of TO(P), as well as a description of the complete facial structure of TO(P). Chapter 3 studies TC(P). We work in the larger class of Cayley sums of anti- blocking polytopes, for which we describe all facets and a canonical subdivision. For the special case of TC(P), this yields a unimodular triangulation, a combinatorial interpretation of the volume and, more generally, of the Ehrhart polynomial. For compatible P, we define a transfer map which relates the triangulations and Ehrhart polynomials of TO(P) and TC(P). The central objects in the second part are real varieties that are invariant under the action of a finite reflection group. For the special case of the symmetric group, Timofte’s degree principle states that every nonempty variety that can be defined in terms of the first k elementary symmetric polynomials always intersects a k-flat of the associated reflection arrangement. Our goal is to generalize this result to arbitrary reflection groups. Chapter 4 treats the infinite families An, Bn and Dn. For these groups we prove that every nonempty variety defined by the first k basic invariants, ordered by their degree, intersects a k-flat of the reflection arrangement. We conjecture that this holds for all irreducible reflection groups. In Chapter 5 we prove the conjecture in the case k=n-1 for arbitrary reflection groups and moreover for all k for the groups H3 and F4. Furthermore, we prove a weaker version of the conjecture. We also establish a connection to Lie groups and their invariant varieties and we prove a first result for complex reflection groups.

Richard Stanley assoziierte 1986 zu einer gegebenen endlichen partiell geordneten Menge zwei geometrische Objekte, das Ordnungs- und das Kettenpolytop, deren Geometrie die Kombinatorik der zugrunde liegenden partiellen Ordnung widerspiegelt. Im ersten Teil dieser Dissertation wird eine ähnliche Theorie für Doppel-Posets, für endliche Mengen mit zwei Ordnungsstrukturen (nach Malvenuto und Reutenauer), entwickelt. Wir assoziieren zu jedem Doppel-Poset P ein Doppel-Ordnungspolytop TO(P) und ein Doppel-Kettenpolytop TC(P). Kapitel 1 behandelt Doppel-Ordnungspolytope. Wir zeigen, dass im Fall von kompatiblen Doppel-Posets die Facetten von TO(P) genau alternierenden Ketten in P entsprechen. Des Weiteren charakterisieren wir die 2-level-Polytope der Form TO(P) und wir etablieren eine Verbindung zu Geissingers Bewertungs-Polytopen. In Kapitel 2 betrachten wir die torischen Ideale von TO(P). Für kompatible Doppel-Posets finden wir eine quadratische Gröbnerbasis und eine entsprechende unimodulare reguläre Triangulierung von TO(P), sowie eine Beschreibung der kompletten Seitenflächen-Struktur. Kapitel 3 behandelt TC(P). Wir arbeiten erst in der größeren Klasse von Cayley-Summen von Anti-blocking-Polytopen und beschreiben die Facetten und eine kanonische Unterteilung. Für den Spezialfall von TC(P) erhalten wir eine unimodulare Triangulierung, eine kombinatorische Interpretation des Volumens und, allgemeiner, des Ehrhart-Polynoms. Für kompatibles P definieren wir eine Transfer-Abbildung, die die Triangulierungen und Ehrhart-Polynome von TO(P) und TC(P) verbindet. Die zentralen Objekte im zweiten Teil sind reelle Varietäten, die invariant unter der Operation einer endlichen reellen Spiegelungsgruppe sind. Für den Spezialfall der symmetrischen Gruppe besagt Timoftes Grad-Prinzip, dass jede nicht-leere Varietät, die mithilfe der ersten k elementarsymmetrischen Polynome definiert werden kann, einen k-dimensionalen Unterraum des dazugehörigen Hyperebenen-Arrangements schneidet. Unser Ziel ist, dieses Ergebnis auf beliebige Spiegelungsgruppen zu verallgemeinern. In Kapitel 4 behandeln wir die unendlichen Familien An, Bn und Dn. Wir zeigen in jedem der Fälle, dass jede nicht-leere Varietät, die von den ersten k nach Grad geordneten basic invariants definiert wird, einen k-dimensionalen Unterraum des assoziierten Arrangements schneidet und stellen die Vermutung auf, dass dies für alle irreduziblen Spiegelungsgruppen gilt. In Kapitel 5 beweisen wir die Vermutung im Fall k=n-1 für alle irreduziblen Spiegelungsgruppen und für beliebige k für H3 und F4. Zudem zeigen wir eine abgeschwächte Version der Vermutung. Wir stellen auch eine Verbindung zu Lie- Gruppen und deren invarianten Varietäten her und beweisen ein erstes Ergebnis für komplexe Spiegelungsgruppen.