Über Zugänge von Hua und Pan Chengdong zum Primzahlzwillingsproblem

Abstract

Die vorliegende Doktorarbeit befaßt sich mit Primzahlzwillingen. Dies sind, im engeren Sinne, Paare von Primzahlen der Differenz 2. Bis heute ist es ein offenes Problem, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt oder nicht. Eine heuristisch gewonnene Vermutung von Hardy und Littlewood über die Verteilung der Primzahlzwillinge aus dem Jahre 1923 impliziert aber die Unendlichkeit der Menge der Primzahlzwillinge.

Hardy und Littlewood gelangten zu ihrer Vermutung mit der von ihnen entwickelten Kreismethode, die später zur Lösung des berühmten ternären Goldbachproblems führte. Zwar ließ sich die Hardy-Littlewood-Vermutung bis heute nicht beweisen, aber immerhin gelang mit Hilfe der Kreismethode die Herleitung etwas schwächerer Resultate, sogenannter Fast-Alle-Aussagen über verallgemeinerte Primzahlzwillinge.

Im wichtigsten Teil der Arbeit, dem zweiten Kapitel, werden solche Fast-Alle- Aussagen auf einem grundsätzlich neuen Weg ohne Verwendung der Kreismethode bewiesen. Die hier benutzte Methode basiert auf einem neueren Zugang zum Primzahlzwillingsproblem von Pan Chengdong aus dem Jahre 1982. Desweiteren werden tiefliegende Sätze der analytischen Zahlentheorie über Primzahlen in arithmetischen Progressionen angewandt.

Im ersten Kapitel wird das ursprüngliche Ergebnis über Primzahlzwillinge von Pan Chengdong mit Hilfe von Abschätzungen für Kloostermansummen verbessert. Ein dem Pan Chengdongschen ähnliches Resultat von Hua wird im dritten Kapitel für Paare natürlicher Zahlen mit beschränkter Anzahl von Primfaktoren verallgemeinert. Hieraus geht eine asymptotische Vermutung über die Verteilung solcher Paare hervor, welche die Hardy-Littlewood-Vermutung über Primzahlzwillinge als Spezialfall enthält.

In the present doctoral thesis, prime twins will be investigated. Prime twins are, in the narrow sense, pairs of prime numbers with a constant difference 2, i.e. (3,5), (5,7), (11,13) and so forth. It is an unsolved problem, if there are infinitely many prime twins or not. However, using heuristical arguments, in 1923 Hardy and Littlewood discovered a conjecture on the distribution of prime twins, which implies the infinity of the set of prime twins.

Hardy and Littlewood arrived at their conjecture by applying their circle method, which later led to the solution of the famous ternary Goldbach problem. No one was able to prove the Hardy-Littlewood-Conjecture, but at least weaker results on generalized prime twins, so-called almost-all-results, were derived by employing the circle method.

In the second chapter, the most important part of the doctoral thesis, such almost-all-results will be proven in a principle new manner avoiding the circle method. The method used here is based on a recent approach to the prime twins problem, which was developed in 1982 by Pan Chengdong. Further, deep theorems of analytic number theory on prime numbers in arithmetic progressions will be applied.

In the first chapter, Pan Chengdong's original result on prime twins will be improved by utilizing estimations for Kloosterman sums. Hua's similar result on prime twins will be generalized in the third chapter for pairs of natural numbers with a bounded number of prime factors. This generalization leads to an asymptotic conjecture on the distribution of such pairs, which contains the above-mentioned Hardy-Littlewood-Conjecture for prime twins as a special case.