Resonance effects are ubiquitous in physics and essential for understanding wave propagation and interference. In the field of nanophotonics, devices are often based on the strong confinement of light by resonances. The numerical simulation of resonances plays a crucial role for the design and optimization of the devices. The resonances are electromagnetic field solutions to the time-harmonic source-free Maxwell's equations with loss mechanisms. The corresponding eigenproblems are non-Hermitian due to the losses leading to complex-valued eigenvalues. The material dispersion, which is typically significant in nanophotonics, results in nonlinear eigenproblems.
In this thesis, we develop an approach based on Riesz projections for the expansion of electromagnetic fields caused by light sources into resonances. The Riesz projection expansion is computed by contour integration in the complex frequency plane. The numerical realization essentially relies on solving Maxwell's equations with a source term, meaning solving linear systems of equations. For this, Maxwell's equations are directly evaluated at the given frequencies on the integration contours, which implies that linearization of the corresponding nonlinear eigenproblems is not required. This makes Riesz-projection-based approaches a natural choice for dealing with eigenproblems from the field of nanophotonics. We further extend the Riesz projection expansion approach to optical far-field quantities, which is not straightforward due to the spatial divergence of the resonances with increasing distance from the underlying resonators. Based on the ideas of the Riesz projection expansion, we introduce approaches for the calculation of physically relevant eigenvalues and for computing eigenvalue sensitivities. Physically relevant means that the eigenvalues are significant with respect to the resonance expansion of the physical observable of interest.
By using physical solutions to Maxwell's equations for the contour integration, the developed numerical methods have a strong relation to physics. The methods can be applied to any material system and to any measurable physical quantity that can be derived from the electric field. We apply the numerical methods to several recent nanophotonic applications, for example, single-photon sources from the field of quantum technology, plasmonic nanostructures characterized by nonlocal material properties, and nanoantennas based on bound states in the continuum. The approaches introduced in this thesis are developed for nanophotonic systems, but can be applied to any resonance problem.
Resonanzeffekte treten in allen physikalischen Systemen auf, die durch Wellen beschrieben werden, und sie sind für die Beschreibung von Wellenausbreitung und Interferenz unerlässlich. Auf dem Gebiet der Nanophotonik basieren viele Geräte auf den durch Lichtquellen angeregten Resonanzen mit ihren stark erhöhten elektromagnetischen Feldern. Die numerische Simulation von Resonanzen ist ein wichtiges Hilfsmittel für die Entwicklung und Optimierung der Geräte. Die Resonanzen sind die Lösungen der zeitharmonischen quellenfreien Maxwell-Gleichungen mit Verlustmechanismen. Die entsprechenden Eigenwertprobleme sind aufgrund der Verluste nicht-Hermitesch, was zu komplexwertigen Eigenwerten führt. Die Materialdispersion, die in der Nanophotonik typischerweise signifikant ist, führt zu nichtlinearen Eigenwertproblemen.
In dieser Dissertation entwickeln wir einen auf der Riesz-Projektion basierenden Ansatz für die Expansion von elektromagnetischen Feldern, die von Lichtquellen erzeugt werden, in Resonanzen. Wir berechnen die Riesz-Projektionen durch Konturintegration in der komplexen Frequenzebene. Die numerische Realisierung basiert im Wesentlichen auf der Lösung der Maxwell-Gleichungen mit einem Quellterm, das heißt der Lösung von linearen Gleichungssystemen. Dabei werden die Maxwell-Gleichungen direkt bei den gegebenen Frequenzen auf den Integrationskonturen ausgewertet, sodass eine Linearisierung der entsprechenden nichtlinearen Eigenwertprobleme nicht erforderlich ist. Das macht die auf der Riesz-Projektion basierenden Methoden zu einer natürlichen Wahl für die Behandlung von Eigenwertproblemen aus dem Bereich der Nanophotonik. Wir erweitern den Ansatz der Riesz-Projektions-Expansion auf optische Größen im Fernfeld, was aufgrund der räumlichen Divergenz der Resonanzen mit zunehmender Entfernung von den zugrunde liegenden Resonatoren problematisch ist. Basierend auf den Ideen der Riesz-Projektions-Expansion entwickeln wir außerdem Methoden zur Berechnung physikalisch relevanter Eigenwerte und zur Berechnung von Sensitivitäten von Eigenwerten. Physikalisch relevant bedeutet, dass die Eigenwerte in Bezug auf die Resonanzexpansion der interessierenden physikalischen Größe signifikant sind.
Durch die Verwendung physikalischer Lösungen der Maxwell-Gleichungen für die Konturintegration haben die entwickelten numerischen Methoden einen starken Bezug zur zugrunde liegenden Physik. Die Methoden können auf jedes Materialsystem und auf jede messbare physikalische Größe angewendet werden, die sich aus dem elektrischen Feld herleiten lässt. Wir wenden die numerischen Methoden auf mehrere aktuelle nanophotonische Strukturen an, wie zum Beispiel Einzelphotonenquellen aus dem Bereich der Quantentechnologie, plasmonische Nanostrukturen, die sich durch nichtlokale Materialeigenschaften auszeichnen, und Nanoantennen, die auf gebundenen Zuständen im Kontinuum basieren. Die in dieser Dissertation vorgestellten Ansätze werden für nanophotonische Systeme entwickelt, lassen sich aber auf jedes Resonanzproblem anwenden.
