Equivariant deformations of algebraic varieties with an action of an algebraic torus of complexity 1

Abstract

The dissertation studies equivariant deformations of a certain class of varieties with an action of an algebraic torus. All varieties in the dissertation are algebraic varieties over complex numbers. Normal varieties with an action of a torus (they are called T-varieties) can be parametrized by combinatorial data, namely by so-called polyhedral divisors. This parametrization was constructed and studied by Klaus Altmann, Jurgen Hausen, Nathan Owen Ilten, Lars Petersen, Hendrik Süß, Robert Vollmert, et al. We study three-dimensional varieties with an action of a two-dimensional torus parametrized by polyhedral divisors on P1 such that all polyhedra in the divisor are lattice polyhedra, and the tail cone of all these polyhedra is full-dimensional. Fix one such variety and denote it by X. The torus acting on X will be denoted by T. We study equivariant deformation of X, i. e. deformations with an action of the torus on the total space such that the projection to the parameter space is invariant and the restriction of the action to the special fiber coincides with the torus action on X we started with. We compute the space of first order (infinitesimal) deformations in terms of the combinatorial description of X as a T-variety. This space is dentoed by T1(X)0. Then we prove that all first order infinitesimal deformations are unobstructed and find a formally versal object for equivariant deformations. The dissertation has the following structure. The first chapter is an introduction, it explains basic notions of theory of T-varieties and of deformation theory. It also contains the precise statements of the problems we are going to solve. The second chapter contains preliminary facts from various areas of algebraic geometry and homological algebra, which we will need in the subsequent chapters. In Chapter 3, we find a formula for the dimension of T1(X)0. However, this formula involves homology groups of different sheaves on P1, and it is not easy to use this formula directly. In Chapter 4, using the results of Chapter 3, we prove a purely combinatorial formula for the dimension of T1(X)0. Chapter 5 establishes a connection between the formula for dim T1(X)0 and a previously known formula for the dimensions of the graded components of the space of first order infinitesimal deformations of toric varieties. More precisely, we consider the case when X is a toric variety, i. e. there is a generically transitive action of a three- dimensional torus on X, and the two-dimensional torus T is a subgroup of this three-dimensional torus. Finally, in Chapter 6 we construct an equivariant deformation of X over a vector space such that the Kodaira-Spencer map is surjective and prove that it is formally versal. To compute the Kodaira- Spencer map in this case, we need to consider a more general situation when an algebraic variety is defined as the spectrum of a subalgebra A of a free polynomial algebra C[x1,…,xn], and a deformation of Spec A is defined by perturbations of generators of A in C[x1,…,xn]. We impose some technical conditions on this situation, however, the results for deformations defined this way may be of independent interest. To prove that the Kodaira-Spencer map is surjective, we extensively use the results and the arguments from Chapter 4.

In der vorliegenden Dissertation studieren wir äquivariante Deformationen einer bestimmten Klasse algebraischer Varietäten mit einer Aktion eines algebraischen Torus'. Alle Varietäten in der Dissertation sind über den komplexen Zahlen. Normale Varietäten mit einer Torusaktion (genannt T-Varietäten) können mittels kombinatorischer Daten, so genannter polyhedrischer Divisoren, parametrisiert werden. Diese Parametrisierung wurde erstmals von Klaus Altmann, Jurgen Hausen, Nathan Owen Ilten, Lars Petersen, Hendrik Süß, Robert Vollmert, et al. betrachtet. Wir untersuchen 3-dimensionale Varietäten mit der Wirkung eines 2-dimensionalen Torus'. Unsere Varietäten sind durch spezielle polyhedrische Divisoren auf P1 parametrisiert: Alle polyedrischen Koeffizienten sind Gitterpolyeder, und ihr gemeinsame Schweifkegel ist volldimensional. Wir fixieren eine solche Varietät und bezeichen es sie mit X. Der Torus, der auf X operiert, wird mit T bezeichent. Wir studieren nun äquivariante Deformationen von X, d.h. Deformationen von X mit einer Torusaktion auf dem Totalraum, so dass die Projektion auf den Parameterraum T-invariant ist, und die Einschränkung der Torusaktion auf die spezielle Faser genau mit der ursprünglich gegebenen zusamennfällt. Wir berechnen den Raum der infinitesimalen Deformationen erster Ordnung aus der kombinatorischen Beschreibung von X als einer T-Varietät. Diesen Raum bezeichnen wir mit T1(X)0. Dann beweisen wir, dass alle Deformationen erster Ordnung unobstruiert sind, und wir konstruieren eine formal verselle äquivariante Deformation von X. Die Dissertation hat die folgende Struktur. Die erste Kapitel ist eine Einführung, es erklärt die Grundbegriffe der Theorie der T-Varietäten und der Deformationstheorie. Es erhält auch die genaue Beschreibung der Probleme, die wir lösen werden. Das zweite Kapitel enthält Fakten aus verschidenen Bereichen der algebraischen Geometrie und der homologische Algebra, die wir in den folgenden Kaptieln brauchen werden. In Kapitel 3 finden wir eine Formel für die Dimension von T1(X)0. Diese Formel beinhaltet jedoch Homologiegruppen unterschiedlicher Garben auf P1, und es ist nicht leicht, diese Formel direkt zu nutzen. In Kapitel 4 nutzen wir die Ergebnise vom Kaptel 3 und beweisen eine rein kombinatorische Formel für die Dimension von T1(X)0. Kapitel 5 schafft eine Verbinding zwischen der Formel für dim T1(X)0 und einer früher bekannten Formel für die Dimensionen der graduierten Komponenten des Raumes der Deformationen erster Ordnung torischer Varietäten. Genauer betrachten wir den Fall, wenn X eine torische Varietät ist, d.h. es gibt eine generisch transitive Aktion eines 3-dimensionalen Torus' auf X, und der frühere 2-dimensionale Torus T ist eine Untergruppe darin. Schließlich, in Kapitel 6, konstruieren wir eine äquivariante Deformation von X über einem Vektorraum, so dass die Kodaira-Spencer-Abbildung surjektiv ist, und wir beweisen, dass diese Deformation formal versell ist. Um die Kodaira-Spencer-Abbildung in diesem Fall zu berechnen, müssen wir eine algemeinere Situation betrachten, nämlich wenn eine algebraische Varietät gleich dem Spektrum einer Unteralgebra A der freie Polynomalgebra C[x1,…,xn] ist, und wenn die Deformation von Spec A durch Störungen der Erzeuger von A innerhalb von C[x1,…,xn] gegeben ist. Diese Ergebnisse sind sicherlich von unabhängigem Interesse über unsere konkrete Anwendung hinaus. Wir benutzen sie hier, um zu zeigen, dass die Kodaira-Spencer-Abbildung surjektiv ist.