In this work, the model of rate-and-state friction, which can be viewed as central to the numerical simulation of earthquakes, is considered from a mathematical point of view. First, a framework is presented through which a general class of such friction laws can be understood and analysed. A prototypical viscoelastic problem of earthquake rupture is then formulated, both in strong and in variational form. Analysis of this problem is difficult, since the incorporation of rate-and-state friction leads to a coupling of variables. In a time-discrete setting, nonetheless, results on existence, uniqueness, and continuous parameter dependence of solutions can be obtained. The principal idea is to reformulate the variable interdependence as a fixed point problem and to prove convergence for a corresponding iteration. With that in mind, next, a numerical algorithm is proposed that resolves the coupling through a fixed point iteration. Since it puts a state-of-the-art solver and adaptive time stepping to use, it is not only stable but also fast. Its applicability to problems of interest is demonstrated in the penultimate chapter, which focuses on simulations of megathrust earthquakes that form at the base of a subduction zone. The main assumptions made throughout this work are summarised and discussed in the last chapter.
In der vorliegenden Arbeit wird das Modell geschwindigkeits- und zustandsabhänger Reibung, welches von zentraler Bedeutung für numerische Erbebensimulationen ist, von einem mathematischen Gesichtspunkt untersucht. Zunächst werden bekannte Gesetze in eine abstrakte Struktur eingeordnet, auf Grundlage derer sie oder vergleichbare Reibungsgesetze verstanden und analysiert werden können. Innerhalb dieses Rahmens wird dann ein viskoelastisches Problem formuliert, sowohl in starker als auch in schwacher Form, das sich aus der Modellierung erdbebentypischen Rutschens entlang einer Störungszone ergibt. Eine Analyse gestaltet sich, aufgrund der Variablenkopplung, die das untersuchte Reibungsmodell mit sich bringt, schwierig. Im Zeitdiskreten lassen sich jedoch sowohl Aussagen über Existenz und Eindeutigigkeit von Lösungen als auch über stetige Parameterabhängigkeit tätigen. Die zugrundeliegende Idee dabei ist es, eine Variablenkopplung als Fixpunktproblem aufzufassen und die Konvergenz einer zugehörigen Iteration zu zeigen. Darauf basierend wird ein Algorithmus vorgeschlagen, der das Problem mithilfe einer Fixpunktiteration entkoppelt. Durch den Einsatz eines modernen Lösers und adaptiver Zeitschrittsteuerung ergibt sich so ein Verfahren, das nicht nur stabil sondern auch schnell ist. Seine Anwendbarkeit auf relevante Probleme wird im Folgekapitel unter Beweis gestellt, das sich auf die Simulation von Megathrust-Erdbeben konzentriert, wie sie an der Sohle einer Subduktionszone auftreten. Das letzte Kapitel schließlich fasst die Annahmen zusammen, die in den vorgehenden Kapitel getroffen werden.
