Transparent boundary conditions for Maxwell's equations: Numerical concepts beyond the PML method

Abstract

Optical technologies are ubiquitously used in hi-tech devices. As a common feature of such devices one finds structures with dimensions in the order of the wavelength of the used light. To design and produce such devices, the wave nature of light must be taken into account. Accordingly, robust simulation tools are required which are based on rigorously solving Maxwell's equations, the governing equations of light propagation within macroscopic media. This thesis contributes to the modeling and the numerical computation of light scattering problems: Light scattering problems are typically posed on the entire space. The Perfectly-Matched -Layer method (PML) is widely used to restrict the simulation problem onto a bounded computational domain. We propose an adaptive PML method which exhibits a good convergence even for critical problems where standard PML implementations fail. Besides the computation of the near field, that is the electromagnetic field within the computational domain, it is of major interest to evaluate the electromagnetic field in the exterior domain and to compute the far field. So far, this was numerically only possible for simple geometries such as homogeneous exterior domains or layered media. To deal with more complicated devices, for example with waveguide inhomogeneities, we develop an evaluation formula based on the PML solution which allows for an exterior domain field evaluation in a half space above the device. Finally, we generalize the PML method to problems with multiply structured exterior domains. The term “multiply structured exterior domain” is defined in this thesis and means that the exterior domain exhibits several half-infinite structures. Mathematically, this gives rise to various complications. For example, no analytical solutions to Maxwell's equations for standard light sources are available in the exterior domain, which are needed to describe the incoming field in a light scattering problem. To tackle this we propose a new light scattering problem formulation which fits well into the PML method framework and which may be regarded as an extension of classical contributions by Sommerfeld, Wiener and Hopf. An exterior domain evaluation formula for multiply structured exterior domains with an extended illumination is derived as well.

In dieser Arbeit werden numerische Konzepte zur Berechnung der Lichtausbreitung in kompliziert strukturierten optischen Bauteilen weiter- und neu entwickelt. Neben der Berechnung des Nahfelds, das heißt der Berechnung der Lichtverteilung in einem kleinen Ausschnitt eines optischen Bauteiles, steht die Entwicklung einer Darstellungsformel im Vordergrund, die es erlaubt, das elektromagnetische Feld auch außerhalb des eigentlichen Rechengebietes auszuwerten. Im Einzelnen werden folgende Aspekte behandelt: Lichtstreuprobleme werden mathematisch durch die Maxwell'schen Gleichungen auf dem gesamten Raum beschrieben. Die Perfectly-Matched-Layer Methode (PML) ist sehr weit verbreitet, um ein Streuproblem numerisch auf ein endliches Rechengebiet zu beschränken. In dieser Arbeit wird eine adaptive PML Methode vorgestellt. Die Adaptivität ist wichtig für einen effizienten Einsatz der PML Methode in relevanten Ingenieursproblemen, da kleine Änderungen der physikalischen Umgebungsparameter große Auswirkungen auf die numerischen Steuerungsparameter nach sich ziehen können. Es wird gezeigt, dass mit der adaptiven PML Methode kritische Probleme akkurat numerisch gelöst werden können, bei denen bisherige Implementierungen der PML Methode zu großen Fehlern führten. Ein weiterer wichtiger Aspekt dieser Arbeit ist die Bereitstellung einer Außenraumlösungsformel auf Grundlage der berechneten Innenraumdaten und den zusätzlichen PML Freiheitsgraden. Dies stellt einen großen technischen Fortschritt dar, weil in einem Streuexperiment häufig die Fernfelddaten entscheidend sind. Bisherige Ansätze zur Berechnung der Fernfelddaten beschränkten sich auf einfache Geometrien, wie etwa den homogenen Raum oder geschichtete Außenräume. Für komplizierter strukturierte Außenräume musste man sich bislang mit approximativen Resultaten zufrieden geben, die man nur durch Vergrößerung des Rechengebietes kostspielig verbessern konnte. Abschließend wird die PML Methode auf mehrfach strukturierte Außenräume verallgemeinert. Der Begriff „mehrfach strukturierter Außenraum“ wird in dieser Arbeit geprägt und soll zum Ausdruck bringen, dass der Außenraum mehrere halb--unendliche Strukturen besitzt, die es unter anderem verhindern, analytische Lösungen der Maxwell'schen Gleichungen zu Lichtquellen im Außenraum zu finden. In diesem Sinne liegt für solche Geometrien auch keine numerisch brauchbare Beschreibung des einfallenden Lichts vor, was aber bislang Voraussetzung für die mathematische Beschreibung eines Streuproblems war. Entsprechend wird die Streuproblemformulierung auf den Fall mehrfach strukturierter Außenräume erweitert. Dabei knüpft die Arbeit an klassische Arbeiten von Sommerfeld, Wiener und Hopf an. Es wird des Weiteren gezeigt, wie auch für mehrfach strukturierte Außenräume eine Außenraum- und Fernfeldauswertung erfolgen kann.