Differenzierte Förderung der Beweiskompetenz im Geometrieunterricht durch Anleitung und Vereinfachung der Beweisführung, illustriert am Mittenviereck

Abstract

Unterschiedliche Förderwerkzeuge können Lernende im Geometrieunterricht beim eigenständigen Aufstellen einer Beweisführung zu einem Satz unterstützen. Erstens trifft „Lokales Ordnen“ eine Vorauswahl der zur Verfügung stehenden Sätze. Dadurch kann eine Beweisführung in eine bestimmte Richtung gelenkt und an ein bestimmtes Anforderungsniveau angepasst werden. Zweitens kann die formale sowie die sprachliche Strenge eines Beweises auf eine Lerngruppe zugeschnitten werden. Drittens können verschiedene Heurismen die Lösungsfindung eines Beweisproblems erleichtern. Nachdem die unterschiedlichen Werkzeuge im ersten Teil vorgestellt werden, werden sie im zweiten Teil anhand des Beweisbeispiel zum Mittenviereck als Parallelogramm diskutiert. Bei diesem Beweis wird eine neue Beweisführung vorgeführt, die ausschließlich auf Winkel– und Kongruenzsätzen basiert. Zum einen wird gezeigt, wie diese Sätze gemäß des „Lokalen Ordnens“ zur Verfügung gestellt und zur Differenzierung genutzt werden können. Sowohl die Konzeption von Arbeitsblättern zum Beweisbeispiel als auch die Einordnung der Aufgabenstellungen in verschiedene Schwierigkeitsgrade werden erörtert. Zum anderen wird demonstriert, wie weitere Unterstützungsmethoden herangezogen werden können, um den Schülerinnen und Schülern eine eigenständige Beweisfindung zu ermöglichen. Schließlich wird eine Reflexion der Differenzierungsmöglichkeiten mithilfe aller vorgestellten Werkzeuge durchgeführt und die Tragweite des didaktischen Konzepts wird kurz besprochen.

Various support tools can boost an autonomous establishment of proof of a theorem by students in the geometry classroom. Firstly, "Local arrangement" pre–selects available theorems for the proof. Thus, the process of proof finding is directed into a certain direction and a line of arguments can be tailored to a specific proficiency level. Secondly, both the formal and the linguistic strictness of proof can be adjusted towards a specific study group. Thirdly, various heuristics can make problem solving easier in relation to proof finding. After all the tools have been presented in the first part, they are discussed in the second part with respect to the proof example of the quadrilateral formed by connecting the midpoints of an outer quadrilateral being a rhomboid. Within this proof example, a novel line of arguments is introduced which is only based on angle and congruence theorems. On the one hand, it is shown how these theorems can be made available according to the principles of "Local arrangement" and used for differentiation of proficiency levels. Both the conception of exercise sheets on the proof example and the classification of possible assignments into levels of difficulty is discussed. On the other hand, other support tools are demonstrated to render possible an independent proof finding by students. Finally, possibilities to differentiate are discussed with reference to the selection of support tools and the future scope of the didactic concept is considered shortly.