This dissertation is an investigation of the theory of the parqueting-reflection principle and its applications to basic boundary value problems in some circular polygons.
The parqueting-reflection principle is applied to solve several boundary value problems for particular domains whose boundaries are composed of circular arcs. It provides heuristic ideas and procedures for constructing harmonic Green functions and harmonic Neumann functions, which play important roles in dealing with Dirichlet and Neumann boundary value problems for the Poisson equation. The parqueting-reflection principle also contributes a method to solve Schwarz boundary value problems for the homogeneous and inhomogeneous Cauchy-Riemann equations. The parqueting-reflection principle has been verified to successfully solve these boundary value problems for many planar domains. However, this principle has not yet been well explained or rigorously justified in theory. This dissertation dedicates to building a fundamental theory for the parqueting-reflection principle and exploring new domains in which the principle can be applied.
The main works of this dissertation are listed below.
We first discuss circle reflections in the extended complex plane and employ some matrix techniques in dealing with circle reflections. These matrix tools bring some convenience for the discussions and the computations. Some results on consecutive circle reflections are also prepared for further discussions. We next introduce the definition of parqueting-reflection domains, in which the parqueting-reflection principle is supposed to be applicable. We prove that the parqueting-reflection principle succeeds in constructing the harmonic Green and Neumann functions for finite parqueting-reflection domains. We also obtain some properties of the normal derivatives of harmonic Green and Neumann functions on the boundary of the domains.
We then fully overview basic boundary value problems in disks and half-planes and unify the harmonic Green and Neumann functions, the Schwarz integral formulas, the Poisson integral formulas, and their boundary behaviors for disks and half-planes. On the basis of these discussions and by means of the parqueting-reflection principle, we generally solve the Schwarz problems for the Cauchy-Riemann equations and the Dirichlet problems for the Poisson equation in finite parqueting-reflection bounded domains.
The last two parts of this dissertation are about the applications of the parqueting-reflection principle to basic boundary value problems in a class of circular digons and a circular rectangle. The circular digons with the intersection angles $\pi/n$ for some positive integer $n$ are verified to be finite parqueting-reflection domains. We then solve the Dirichlet problem, Neumann problem, and Schwarz problem for this class of circular digons by means of the parqueting-reflection principle. We also verify that a circular rectangle is an infinite parqueting-reflection domain. We succeed in constructing the harmonic Green function and then solving the Dirichlet problem in this circular rectangle.
Diese Arbeit beschäftigt sich mit dem Spiegelparkettierungsprinzip und seinen Anwendungen in grundlegenden Randwertproblemen in einigen kreisförmigen Polygonen.
Das Spiegelparkettierungsprinzip wird verwendet, um mehrere Randwertprobleme für bestimmte Bereiche zu lösen, deren Grenzen aus Kreisbögen bestehen. Es liefert Ideen und Verfahren zur Konstruktion harmonischer Green-Funktionen und harmonischer Neumann-Funktionen, die bei der Behandlung von Dirichlet- und Neumann-Randwertproblemen für die Poisson-Gleichungen eine wichtige Rolle spielen. Das Spiegelparkettierungsprinzip trägt auch eine Methode zur Lösung des Schwarzschen Randwertproblems für die homogenen und inhomogenen Cauchy-Riemann-Gleichungen bei. Das Spiegelparkettierungsprinzip hat sich bei der Lösung dieser Randwertproblemen für viele spezielle Bereiche bewährt. Die Theorie dahinter und für welche Gebiete dieses Prinzip generell funktionieren kann, ist jedoch noch ein Mythos. Daher sind wir daran interessiert, die verborgene Theorie hinter dem Spiegelparkettierungsprinzip zu untersuchen und neue Bereiche zu erkunden, für die das Prinzip funktionieren kann.
Wir diskutieren zunächst Kreispiegelungen in der erweiterten komplexen Ebene und entwickeln auch einige Techniken im Umgang mit Kreispiegelungen. Wir verwenden Matrixwerkzeuge und sehen, dass die Formulierung mit Matrizen eine gewisse Bequemlichkeit für die Diskussionen bieten. Einige Ergebnisse zu konsekutiven Kreispiegelungen werden für weitere Untersuchungen aufbereitet.
Als nächstes führen wir die Definition von Spiegelparkettierungsgebieten ein, einer Klasse von Gebieten, für die Spiegelparkettierungen durchführbar sind. Wir beweisen, dass es dem Spiegelparkettierungsprinzip im Allgemeinen gelingt, die harmonischen Green- und Neumann-Funktionen für endliche Spiegelparkettierungsgebiete zu konstruieren. Wir erhalten auch einige Ergebnisse über die Normalableitungen von harmonischen Green- und Neumann-Funktionen an Gebietsrändern.
Wir untersuchen auch grundlegende Randwertprobleme in Kreisen und Halbebenen. Wir besprechen die Schwarzsche und die Poissonsche Integralformeln und ihr Randverhalten auf verallgemeinerten Kreisen. Mit Hilfe der Schwarzschen Integralformeln und den Eigenschaften des Pompeiu-Operators lösen wir das Schwarzsche Randwertproblem für die Cauchy-Riemann-Gleichungen in endlichen spiegelparkettbeschränkten Gebieten. Mit Hilfe harmonischer Green-Funktionen und Poisson-Integralformeln lösen wir auch die Dirichlet-Probleme für die Poisson-Gleichungen in endlichen spiegelparkettbeschränkten Gebieten.
Die letzten beiden Teile dieser Arbeit beschäftigen sich mit der Anwendung des Spiegelparkettierungsprinzips für grundlegende Randwertprobleme einiger kreisförmiger Polygone. Kreisdigonen, deren Randbögen sich an den beiden Eckpunkten mit einem Schnittwinkel $\frac{\pi}{n}$ für eine beliebige positive ganze Zahl $n$ schneiden, werden als endliche Spiegelparkettierungsgebiete verifiziert. Mit Hilfe des Spiegelparkettierungsprinzips werden das Dirichlet-Problem, das Neumann-Problem und das Schwarz-Problem für diese Klasse von Kreisdigonen gelöst. Wir verifizieren auch, dass ein bestimmtes kreisförmiges Rechteck ein unendliches Spiegelparkettierungsgebiet ist. Es gelingt uns, die harmonische Green-Funktion zu konstruieren und dann das Dirichlet-Problem im Kreisrechteck zu lösen. Da wir mit Erfolg Beispiele für die Anwendung des Spiegelparkettierungsprinzips zur Lösung einiger Randwertproblem in unendlichen Spiegelparkettierungsgebieten behandeln, ist es lohnenswert, die Theorie des Spiegelparkettierungsprinzips für den Fall von unendliche Spiegelungen weiter zu untersuchen.
