This thesis deals with two different topics from the field of polytope theory. In the first part we are concerned with the sets of f-vectors and flag vectors of polytopes. A new result is the complete description of the projection of the set of flag vectors of 4-dimensional polytopes onto the entries f0, the number of vertices, and f03, the number of vertex-facet incidences. Further new results are the descriptions of the set of all pairs of vertex and facet numbers of d-dimensional polytopes. In addition, we develop the concept of semi-algebraic sets of lattice points. This concept gives us a way of describing the “complexity” of the sets of f-vectors. We consider a number of different f-vector sets and find that these can for the most part be described as the set of all lattice points in a semi-algebraic set. Our main results in this chapter are two theorems that say that two particular f-vector sets cannot be described as the set of all lattice points in a semi-algebraic set. These sets are the set of the number of all edges and 2-dimensional faces of 4-dimensional polytopes, and the set of all f-vectors of d-dimensional polytopes, with d greater than or equal to 6. The second part focuses on Ehrhart theory of lattice polytopes, in particular the h∗-vectors of alcoved polytopes. The work in this part is motivated by the conjectured unimodality of the h∗-vectors of alcoved polytopes. First, the necessary concepts from Ehrhart theory and Stanley-Reisner theory are explained, and some unimodality conjectures are presented. The first main result in this part gives a condition under which alcoved polytopes have unimodal h∗-vectors: All alcoved polytopes with interior lattice points whose facets have lattice distance 1 to the interior lattice points have unimodal h∗-vectors. The second main result in this part gives a bound for how far off alcoved polytopes can be from this restriction. The theorem states that the facets of d-dimensional alcoved polytopes with interior lattice points have at most lattice distance d − 1 to the interior lattice points.
Die vorliegende Arbeit behandelt zwei unterschiedliche Themenkomplexe aus dem Bereich der Polytoptheorie. Im ersten Themenkomplex beschäftigen wir uns mit den Mengen der f-Vektoren und Fahnenvektoren von Polytopen. Ein neues Resultat ist die komplette Beschreibung der Projektion der Menge der Fahnenvektoren von 4-dimensionalen Polytopen auf die Einträge f0, die Anzahl der Ecken, und f03, die Anzahl der Ecken-Facetten-Inzidenzen. Weitere neue Resultate sind die Beschreibungen der Menge aller Paare von Ecken- und Facettenanzahl von d-dimensionalen Polytopen. Außerdem wird das Konzept der semi-algebraischen Mengen von Gitterpunkten entwickelt. Dieses Konzept bietet uns eine Möglichkeit, die “Komplexität” der Mengen von f-Vektoren zu beschreiben. Wir betrachten eine Reihe von verschiedenen f-Vektor-Mengen und stellen fest, dass diese sich größtenteils als Menge aller Gitterpunkte in einer semi-algebraischen Menge beschreiben lassen. Unsere Hauptresultate in diesem Kapitel sind zwei Sätze, die besagen, dass zwei bestimmte f-Vektor-Mengen sich nicht als Menge aller Gitterpunkte in einer semi-algebraischen Menge beschreiben lassen. Diese Mengen sind erstens die Menge der Anzahl aller Kanten und 2-dimensionalen Seiten von 4-dimensionalen Polytopen, und zweitens die Menge aller f-Vektoren von d-dimensionalen Polytopen, mit d größer oder gleich 6. Im zweiten Teil beschäftigen wir uns mit einer Fragestellung aus dem Bereich der Ehrharttheorie, die Frage, ob Alkovenpolytope unimodale h∗-Vektoren haben. Zuerst werden die notwendigen Konzepte aus Ehrharttheorie und Stanley-Reisner-Theorie erläutert, und einige Unimodalitätsvermutungen vorgestellt. Das erste Hauptresultat in diesem Teil gibt eine Bedingung an, unter welcher Alkovenpolytope unimodale h∗-Vektoren haben: Alle Alkovenpolytope mit inneren Gitterpunkten, deren Facetten Gitterabstand 1 zu den inneren Gitterpunkten haben, haben unimodale h∗-Vektoren. Das zweite Hauptresultat in diesem Teil begrenzt, wie sehr Alkovenpolytope diese Bedingung verfehlen können. Der Satz besagt, dass die Facetten von d-dimensionalen Alkovenpolytopen mit inneren Gitterpunkten höchstens Abstand d − 1 zu den inneren Gitterpunkten haben.
