This thesis firstly presents a nonlinear extended deterministic model for the transmission dynamics of tuberculosis, based on realistic assumptions and data collected from the WHO. This model enables a comprehensive qualitative analysis of various aspects in the outbreak and control of tuberculosis in Sub-Saharan Africa countries and successfully reproduces the epidemiology of tuberculosis in Cameroon for the past (from 1994-2010). Some particular properties of the model and its solution have been presented using the comparison theorem applied to the theory of differential equations. The existence and the stability of a disease free equilibrium has been discussed using the Perron-Frobenius theorem and Metzler stable matrices. Furthermore, we computed the basic reproduction number, i.e. the number of cases that one case generates on average over the course of its infectious period. Rigorous qualitative analysis of the model reveals that, in contrast to the model without reinfections, the full model with reinfection exhibits the phenomenon of backward bifurcation, where a stable disease-free equilibrium coexists with a stable endemic equilibrium when a certain threshold quantity, known as the basic reproduction ratio ($\mathcal{R}_0$), is less than unity. The global stability of the disease-free equilibrium has been discussed using the concepts of Lyapunov stability and bifurcation theory. For a theoretical bifurcation analysis, rather than numerical computations, we have analyzed some polynomials using the Descartes sign rule. All these theoretical tools were successfully used within the study of endemic equilibria also besides the center manifold theory. The models incorporate the critical roles of health care workers, transmission heterogeneity and super-spreading events. With the help of a sensitivity analysis using data of Cameroon, we identified the relevant parameters which play a key role for the transmission and the control of the disease. This was possible applying sophisticated numerical methods (POEM) developed at ZIB. Using advanced approaches for optimal control considering the costs for chemoprophylaxis, treatment and educational campaigns should provide a framework for designing realistic cost effective strategies with different intervention methods. The forward-backward sweep method has been used to solve the numerical optimal control problem. The numerical result of the optimal control problem reveals that combined effort in education and chemoprophylaxis may lead to a reduction of 80\% in the number of infected people in 10 years. The mathematical and numerical approaches developed in this thesis could be similarly applied in many other Sub-Saharan countries where TB is a public health problem.
In der vorliegendenen Arbeit wird ein nichtlineares deterministisches Modell für die Übertragungsdynamik der Tuberkulose basierend auf epidemiologischen Konzepten und Daten der Weltgesundheitsorganisation (WHO) entwickelt. Das Modell ermöglicht eine detaillierte qualitative Analyse des Ausbruchs, der Ausbreitung und der Kontrolle von Tuberkulose in subsaharischen afrikanischen Ländern und reproduziert den Verlauf der Tuberkulose-Epidemie in Kamerun von 1994 bis 2010. Spezielle Eigenschaften des Modells und seiner Lösungen werden mithilfe von Vergleichssätzen für Differentialgleichungen abgeleitet; Existenz und Stabilität eines krankheitsfreien Gleichgewichts werden unter Verwendung des Satzes von Perron-Frobenius und den Eigenschaften von Metzler-Matrizen analysiert. Die globale Stabilität des krankheitsfreien Gleichgewichts wird mittels der Konzepte der Lyapunov-Stabilität und der Bifurkationstheorie diskutiert. Die für das Studium des Verlaufs von Infektionsepidemien grundlegende Kennziffer ist die basisreproduktionszahl, d.h. die Zahl von weiteren Infektionen, die im Mittel von einem Infizierten während seiner infektiösen Periode verursacht wird. Die Analyse des Modells zeigt, dass die Berücksichtigung von Reinfektionen zu einer rückwärtsgerichteten Bifurkation führt, d.h. ein stabiles krankheitsfreies Gleichgewicht koexistiert mit einem stabilen endemischen Gleichgewicht, in dem die Basisreproduktionszahl kleiner als eins ist. Die theoretischen Methoden werden zur Untersuchung endemischer Gleichgewichtszustände verwendet, ebenso wie die Theorie der Zentrumsmannigfaltigkeiten. Die Modelle berücksichtigen auch die kritische Rolle des Gesundheitspersonals, die Übertragungsheterogenität und sogenannte “super-spreading Events”. Durch eine Sensitivitätsanalyse mit Hilfe von am ZIB entwickelter Verfahren (POEM/BioParkin) anhand realer Daten aus Kamerun lassen sich die Modellparameter identifizieren, die eine Schlüsselrolle für die Übertragung und Kontrolle der Tuberkulose innehaben. Für die Entwicklung wirksamer und kosteneffektiver Strategien zur Bekämpfung der Tuberkulose werden Methoden des Optimalsteuerung verwendet. Hierbei werden Kosten für Chemoprophylaxe, Behandlung und Aufklärungskampagnen berücksichtigt. Zur Lösung der Optimalsteuerungsprobleme wird ein Forward-Backward-Sweep-Ansatz eingesetzt. Die numerischen Ergebnisse zeigen, dass eine kombinierte Strategie in Aufklärung und Chemoprophylaxe zu einer Reduktion der Zahl infizierter Personen um 80\% in 10 Jahren führen könnte. Die mathematischen und numerischen Ansätze, die im Rahmen dieser Arbeit entwickelt wurden, könnten auf viele andere subsaharische Länder übertragen werden, in denen Tuberkulose eines der größten Gesundheitsproblem darstellt.
