In this thesis the quantum phase transition of spinless bosons in optical lattices is described within a Ginzburg-Landau theory. To this end the underlying effective action is derived from the microscopic Bose-Hubbard Hamiltonian by developing diagrammatic techniques for a resummed hopping expansion. Thus, this Ginzburg-Landau theory inaugurates a new approach for determining the properties of bosonic atoms in lattice systems. Already in second hopping order it exhibits a relative error of less than 3 % for the boundary between the superfluid and the Mott insulator phase of a three- dimensional cubic optical lattice when compared with the most recent results of Quantum Monte Carlo simulations. In addition, the Ginzburg-Landau theory also allows to calculate near-equilibrium as well as non-equilibrium quantities. Thus, this thesis shows that, although comparable with numerical methods in terms of accuracy, the analytical Ginzburg-Landau theory presented here offers a much better qualitative understanding of the respective system properties.
In der vorliegenden Arbeit wird der Quantenphasenübergang spinloser Bosonen in optischen Gittern im Rahmen einer Ginzburg-Landau-Theorie beschrieben. Hierzu wird die zugrunde liegende effektive Wirkung ausgehend vom mikroskopischen Bose-Hubbard-Hamiltonian abgeleitet, indem eine diagrammatische Technik zur Resummation einer Tunnel-Entwicklung ausgearbeitet wird. Die so erhaltene Ginzburg-Landau-Theorie eröffnet einen neuen Zugang, um die Eigenschaften bosonischer Atome in einem Gittersystem zu bestimmen. Schon in zweiter Hopping-Ordnung ergibt sich ein Fehler von nur 3 % für die Grenze zwischen der superfluiden und der Mott-Isolator-Phase eines dreidimensionalen kubischen optischen Gitters im Vergleich zu neuesten Quanten Monte-Carlo-Simulationen. Außerdem erlaubt die Ginzburg-Landau-Theorie, physikalische Größen nahe des Gleichgewichtes und im Nichtgleichgewicht zu berechnen. Die Arbeit zeigt daher, dass die hier vorgestellte analytische Ginzburg-Landau-Theorie ein viel besseres qualitatives Verständnis der jeweiligen Systemeigenschaften ermöglicht, auch wenn die Genauigkeit der Ergebnisse mit denen durch numerische Methoden erzielten Ergebnisse vergleichbar ist.
