Understanding fermionic systems and creating more powerful tools for their simulation has been a focus of modern theoretical physics since the first days of the formulation of quantum mechanics. Due to their intrinsic hardness we are not able to design universal schemes which compute and extract the dynamic or static properties of generic interact- ing fermionic systems efficiently and the distinct structures of more specific settings have to be exploited in order to obtain efficient methods. In this thesis we set out to identify and understand some of these structures in finite fermionic systems in more detail from both, a practical and conceptual point of view. From a practical application point of view, we extend tensor network methods such that they are able to resolve Gaussian fermionic correlations. By combining tensor network states (TNS) and mode transformations we overcome the defect of TNS of not being able to approximate independent fermions efficiently and incorporate thus structured high entanglement effects into TNS. The obtained schemes adapt established TNS methods to fermionic systems and allow in specific cases to significantly reduce the amount of resources needed for a ground state search and a real time evolution of a non-local fermionic system. By this we construct TNS methods in the spirit of other multi-configuration schemes and allow TNS, which are able to resolve complex mode correlations, to detect close-to-product structures in a particle picture. Conceptually we investigate the emergence of efficient structures in different classes of models. We formulate a fermionic mode de Finetti theorem which deduces a separability of a fermionic state, i.e., the suppression of all quantum correlation between different fermionic modes, from an underlying permutation invariance of the state and by this re- stricts the correlation structure of a state based on its symmetries. This insight directly relates to the certification of mean field approaches such as the Hartree-Fock method as we discuss and provides a new perspective towards the understanding of why these rough approximations provide surprisingly accurate results in certain systems. Further- more, we prove that under the evolution of a free Hamiltonian supporting a sufficient form of transport generic non-critical initial states become Gaussian after a short time. This result links to general relaxation processes of closed quantum systems such as equi- libration and thermalization and is in general reminiscent to the convergence towards a generalized Gibbs ensemble (and provides a rigorous proof of such a convergence in special systems). In both cases, Gaussification and the fermionic de Finetti theorem, we carefully discuss the initial assumptions and special role of the fermionic antisymmetry constraint.
Das Verständnis von fermionischen Systemen sowie die Entwicklung von Methoden für deren Beschreibung ist einer der Schwerpunkte moderner theoretischer Physik seit der Entwicklung der Quantenmechanik. Die allgemeinen Systemen inhärente Komplexität verwehrt es universelle Methoden zu entwickeln, die im allgemeinen Fall statische und dynamische Eigenschaften wechselwirkender Fermionen bestimmen. Um dennoch Ein- blicke in ein spezifisches System zu erhalten, müssen in der Regel tiefere Strukturen des vorliegenden Systems ausgenutzt werden. Das praktische Auffinden sowie das theoreti- sche Verständnis solcher Strukturen sind der Fokus dieser Arbeit. Um Strukturen, die eine effizientere Simulation fermionischer Systeme ermöglichen, zu finden, etablieren wir eine Kombination von Tensornetzwerkzuständen (TNS) und fermionischen Modentransformationen. Diese Kombination erlaubt es etablierte TNS Al- gorithmen und Methoden auf fermionische Systeme anzupassen und durch die adäquate Wahl der Einteilchenbasis strukturierte starke Verschränkungseffekte in diesen zu er- fassen. Die resultierenden Multikonfigurations TNS Methoden erlauben es in prakti- schen Anwendungen die benötigten Ressourcen zum Teil immens zu verringern, da sie die gewählte Einteilchenbasis an die entsprechende Korrelationsstruktur des Systems anpassen können. Auf einer theoretischen Ebene betrachten wir den Ursprung und das Entstehen ver- schiedener Strukturen in fermionischen Systemen. Wir formulieren ein Moden de Finetti Theorem, welches die Separabilität eines fermionischen Zustandes aus einer Permutations- symmetrie des Systems folgert. Solch eine Unterdrückung von Quantenkorrelationen zwischen einzelnen Einteilchenmoden steht im direkten Zusammenhang mit der An- wendbarkeit von Molekularfeldnäherungen, wie etwa der Hartree-Fock Näherung, an das gegebene System und ermöglicht es die Genauigkeit dieser Näherungen zu zerti- fizieren. Darüber hinaus zeigen wir, dass in einem freien fermionischen System, welches einen genügenden Transport erlaubt, ein allgemeiner, nicht kritischer Zustand nach einer kurzen Zeit zu einem Gaußschen Zustand relaxiert. Strukturell ähnelt und trägt das Re- sultat zum Verständnis von anderen allgemeinen Relaxationsprozessen in geschlossenen Quantensystemen, wie der Equilibrierung und der Thermalisierung, bei und beweist schlüssig, dass freie fermionische Systeme zu generalisierten Gibbs-Ensembles equili- brieren und nicht thermalisieren. Sowohl für das de Finetti Theorem als auch für die Gaußifizierung freier fermionischer Systeme diskutieren wir insbesondere die Rolle der nötigen hinreichenden Annahmen an das System und die der kanonischen, fermionischen Antisymmetriebedingungen.
