Anwendung der Dichtematrix-Renormierung auf nichthermitesche Probleme

Abstract

Die Dichtematrix-Renormierung ist eine neue numerische Methode, die es erlaubt, die Grundzustandseigenschaften (sowohl die Energien als auch die Eigenfunktionen) von eindimensionalen Quantenspinsystemen großer Länge (einhundert Plätze und mehr) mit herausragender Genauigkeit (bis zu zehn Dezimalstellen) zu berechnen. Dabei verwendet man die reduzierte Dichtematrix eines Teils des Systems zur Konstruktion eines eingeschränkten Hilbert-Raumes.

Die Methode wurde bisher hauptsächlich auf echte Quantensysteme, d.h. Systeme, die durch hermitesche Zeitentwicklungsoperatoren beschrieben werden, angewandt. In der vorliegenden Arbeit wurden mit ihrer Hilfe nichthermitesche Probleme untersucht und die Anwendbarkeit der Methode gezeigt.

Es konnten erstmalig die verallgemeinertern Korrelationsfunktionen einer nichthermitschen Erweiterung der antiferromagnetischen Heisenberg-Kette für große Kettenlängen und daraus die kritischen Exponenten bestimmt werden.

Darüber hinaus wurde die Dichtematrix-Renormierung auf Hüpfmodelle mit stochastischen Zeitentwicklungsoperatoren angewandt und speziell der Zusammenhang des Eigenwertspektrums der reduzierten Dichtematrix mit der Struktur des Grundzustandes diskutiert.

Ein weiterer Aspekt, auf den eingegangen wird, ist der Ursprung des Eigenwertspektrums der Dichtematrix, das für die Genauigkeit des Verfahrens entscheidend ist.

The density-matrix renormalization is a new numerical method which allows for the calculation of ground-state properties (energies as well as eigenfunctions) of large (one hundred sites and more) one-dimensional quantum systems with spectacular accuracy (up to ten decimal places). In the procedure the reduced density matrix of one part of the system is used for the construction of a restricted Hilbert space.

Until now the method was mainly applied to pure quantum systems, i.e. systems described by hermitian time-evolution operators. In this work non-hermitian problems were studied and the applicability of the method was shown.

For the first time the generalized correlation functions of a non-hermitian variant of the antiferromagnetic Heisenberg chain could be calculated for large chain lengths and the critical exponents could be extracted from the data.

Furthermore, the density-matrix renormalization was applied to hopping models with stochastic time-evolution operators and the connection between the eigenvalue spectrum of the reduced density matrix and the structure of the ground state has been discussed.

Another aspect studied here is the origin of the spectrum of the reduced density matrix which is of great importance for the accuracy of the method.