Spectral approach to metastability of non-reversible complex processes

Abstract

In this thesis we study the metastable dynamics exhibited by Markov processes. Metastability refers to a property of a process that is likely to stay within some sets of a state space for a long period of time, as compared to the time it spends to transit between these sets. The main approach to identify metastable sets is based on dominant spectral elements of the transfer operator of a Markov process. Much work in the past has been done with the assumption that the Markov process is reversible because, with this condition, the spectral objects have nice properties, e.g. the transfer operator is diagonalizable with respect to an orthonormal basis of eigenvectors and the eigenvalues are real. On the other hand, many interesting processes are not reversible. One important example are the so-called Langevin dynamics, which are often commonly used to describe the dynamics of molecular systems. However, it is found that a Langevin process admits one form of generalized reversibility, namely the extended detailed balance (EDB) condition. Motivated by the spectral approach to metastability, we extended the study to non- reversible processes with EDB. First, we showed that for a Markov chain on a finite state space satisfying the EDB condition with respect to some in- volution, the associated transfer operator has real dominant eigenvalues and orthogonal dominant eigenvectors with respect to some scalar product defined by the involution. In the spectral analysis we use perturbation theory for linear operators. Based on these dominant spectral properties, we proposed an algo- rithm to identify metastable sets. The main idea is to use the eigenvalues to determine the number of metastable sets and to use the sign structure of the dominant eigenvectors to determine states that belong to the same metastable set. However, instead of using the eigenvectors of the transfer operator itself, we discovered that using the eigenvectors of the projected transfer operator onto the subspace that is invariant under the involution yields a better yet result. Along with the proposed algorithm, we have established mathematical justifi- cations and numerical examples, including the discretized Langevin dynamics, for illustration.

In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der Metastabilität von Markovprozes- sen. Eine Partition von Teilmengen des Zustandsraums heißt metastabil, wenn der Prozess wesentlich mehr Zeit innerhalb der einzelnen Teilmengen verbringt und eher selten zwischen ihnen hin- und herwechselt. Ein wichtiger Ansatz um solche metastabilen Partitionen zu finden basiert auf den dominierenden spek- tralen Eigenschaften des Transferoperators. Ein großer Teil der bisher erzielten Resultate in der Literatur bezieht sich auf reversible Markovprozesse, da diese wesentlich leichter zu analysieren sind. Beispielsweise ist der Transferoperator dann stets diagonalisierbar bezüglich einer Orthonormalbasis aus Eigenvekto- ren und hat reelle Eigenwerte. Allerdings sind viele wichtige Prozesse nicht reversibel. Dazu gehören auch Prozesse, die durch Langevin-Gleichungen be- schrieben werden, welche oft zur Modellierung von Moleküldynamik verwendet werden. Auch wenn solche Prozesse im Allgemeinen nicht reversibel sind, d.h. der Transferoperator des Prozesses erfüllt nicht die Bedingung der detaillierten Balance, so verfügen sie dennoch über eine verallgemeinerte Form von Reversi- bilität. Denn der Transferoperator erfüllt die sogenannte erweiterte detaillierte Balance- Bedingung (EDB). Aufbauend auf dem spektralen Ansatz zur Analyse von Metastabilität, haben wir die zentralen Ideen und Algorithmen erweitert, um auch nicht-reversible Prozesse behandeln zu können, die die EDB-Bedingung erfüllen. Wir haben zu- nächst Markovketten auf endlichen Zustandsräumen betrachtet, die die EDB- Bedingung erfüllen bezüglich einer Involution, und gezeigt, dass die Eigenwerte des zugehörigen Transferoperators reell sind. Darüberhinaus sind die entspre- chenden Eigenvektoren orthogonal bezüglich einem speziellen Skalarprodukt, das über die Involution definiert wird. Unsere Analyse basiert auf der Störungs- theorie für lineare Operatoren und dient als Grundlage für einen Algorithmus zur Identifikation von metastabilen Partitionen. Die Hauptideen des Algorith- mus bestehen einerseits darin die Anzahl der Teilmengen in der Partition über die Anzahl der dominanten Eigenwerte zu bestimmen, und andererseits darin die Teilmengen selber über die Vorzeichenstruktur der dazugehörigen Eigenvek- toren zu berechnen. Eine wichtige Erkenntnis ist, dass wir wesentlich bessere Resultate erzielen, wenn wir den Transferoperator zuvor auf den Unterraum projizieren, der bezüglich der Involution invariant ist. Darüberhinaus haben wir unsere Ergebnisse durch zahlreiche numerische Beispiele illustriert, insbeson- dere im Bezug auf diskretisierte Langevin-Prozesse, und mathematisch rigoros begründet.