dc.contributor.author
Gudapati, Nishanth Abu
dc.date.accessioned
2018-06-07T15:55:24Z
dc.date.available
2014-02-12T11:37:15.598Z
dc.identifier.uri
https://refubium.fu-berlin.de/handle/fub188/1800
dc.identifier.uri
http://dx.doi.org/10.17169/refubium-6002
dc.description.abstract
This work is on the Cauchy problem for wave maps coupled to Einstein’s
equations of general relativity. Wave maps are maps from a Lorentzian manifold
to a Riemannian manifold which are critical points of the wave map Lagrangian.
Self-gravitating wave maps are those from an asymptotically flat Lorentzian
manifold which satisfies Einstein’s equations with the wave map itself as the
source field. The energy of the wave map La- grangian is invariant under
scaling in 2+1 dimensions. Apart from a purely geometrical interest, the
motivation for studying critical self-gravitating wave maps is that 3+1 Ein-
stein vacuum equations on principal bundles with one dimensional Lie group can
be reduced to Einstein wave map system in 2+1 dimensions. The intention of
this work is to initiate a program of studying global regularity of critical
self-gravitating wave maps to understand the global regularity of 3+1 Einstein
vacuum equations. In this approach, the advantage is that one is working in
the critical dimension for wave maps. During the last twenty years a rich
variety of techniques have been developed to address the question of global
regularity of critical wave maps on the Minkowski background. Any progress in
addressing the global regularity of critical self-gravitating wave maps should
be made by not only keeping these methods in view, but also by introducing new
ideas and techniques to overcome the obstacles caused by the evolving geometry
of the system. This work is a small step in that direction. The main result of
this work is the proof that the energy of the Einstein-equivariant wave map
system does not concentrate during the Cauchy evolution. A key ingredient in
the proof is the use of the fact that geometric mass at infinity of the
Einstein-equivariant wave map system is conserved during the evolution.
However, this observation has some subtle local implications which have been
used to estimate the energy locally. For instance, we construct a divergence-
free vector field which gives monotonicity of energy in the past null cone of
any point. In addition, this vector has also been used to prove that the
energy does not concentrate away from the axis of the domain manifold. Later,
estimating the divergence of a Morawetz vector on a truncated past null cone,
we prove that the kinetic energy does not concentrate. Finally, assuming that
the target manifold satisfies the Grillakis condition, we proceed to prove the
non-concentration of energy for the critical Einstein-equivariant wave map
system.
de
dc.description.abstract
Diese Arbeit handelt von dem Cauchy Problem für Wave–Maps, welche mit den
Einstein– Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie gekoppelt sind.
Wave–Maps sind Abbil- dungen von einer Lorentz’schen Mannigfaltigkeit auf eine
Riemann’sche Mannigfaltigkeit welche kritische Punkte eines Wave–Map
Lagrangian sind. Selbst–gravitative Wave– Maps bilden von einer asymptotosch
flachen Lorentz’schen Mannigfaltigkeit ab, welche die Einstein’schen
Gleichungen erfüllen, die die Wave–Map als Quelle besitzen. Die Energie des
Wave–Map Lagrangian ist invariant unter Skalierung in 2+1 Dimensionen.
Abgesehen von dem rein geometrischen Interesse ist die Motivation für das
Studium von kritischen selbst–gravitativen Wave–Maps, dass die 3+1 Vakuum
Einstein Gleichungen auf dem Prinzipalbündel mit eindimensionaler Lie Gruppe
auf das Einstein Wave–Map System in 2+1 Dimensionen reduziert werden kann. Das
Ziel dieser Arbeit ist es, ein Programm zur Untersuchung von globaler
Regularität von kritischen selbst–gravitativen Wave–Maps ins Leben zu rufen um
die globale Regularität der 3+1 Einstein Vakuum Gleichungen zu verstehen. Die
gegenwärtige Herangehensweise hat den Vorteil, dass man in der kritischen
Dimension für Wave–Maps arbeitet. In Laufe der letzten zwanzig Jahre wurde
eine Reihe von Techniken entwickelt, um die Frage der globalen Regularität von
kritischen Wave–Maps auf dem Minkowski Hintergrund zu klären. Jeder
Vortschritt auf dem Gebiet der globalen Regularität von kritischen
selbst–gravitativen Wave–Maps sollte nicht nur diese Methoden im Blick haben,
sondern auch neue Ideen und Techniken zur Überwindung von Hindernissen durch
die sich entwickelnde Geometrie des Systems einführen. Diese Arbeit ist ein
kleiner Schritt in diese Richtung. Das wesentliche Resultat dieser Arbeit ist
der Beweis, dass die Energie der Einstein– Äquivarianten Wave–Map Systeme sich
bei der Cauchy Evolution nicht konzentrier- ert. Ein Hauptbestandteil des
Beweises ist die Ausnutzung der Tatsache, dass die geometrische Masse im
Unendlichen des Einstein–Äquivarianten Wave–Map Systems während der Evolution
erhalten bleibt. Diese Beobachtung hat dennoch ein paar subtile lokale
Auswirkungen welche benutzt werden um die Energie lokal abzuschätzen. Zum
Beispiel konstruieren wir ein Divergenz–freies Vektorfeld, welches Monotonie
der En- ergie auf dem Rückwärts Nullkegel in jedem Punkt gibt. Außerdem wurde
dieser Vektor benutzt um zu Zeigen, dass die Energie sich nicht entfernt von
der Achse der Domain– Manigfaltigkeit konzentriert. Später, wenn die Divergenz
des Morawetz Vektors auf dem gestutzten Rückwärts Nullkegel genähert wird,
zeigen wir, dass die kinetische Energie sich nicht konzentriert. Letztendlich,
annehmend, dass die Ziel–Mannigfaltigkeit die Grillakis Bedingung erfüllt,
fahren wir mit dem Beweis der nicht–Konzentration von Energie für das
kritische Einstein–Äquivariante Wave–Map System fort.
en
dc.rights.uri
http://www.fu-berlin.de/sites/refubium/rechtliches/Nutzungsbedingungen
dc.subject
nonlinear wave equations
dc.subject
mathematical general relativity
dc.subject.ddc
500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik
dc.title
On the Cauchy Problem for Energy Critical Self-Gravitating Wave Maps
dc.contributor.contact
nishanthabu@gmail.com
dc.contributor.firstReferee
Prof. Dr. Lars Andersson
dc.contributor.furtherReferee
Prof. Dr. Gerhard Huisken
dc.contributor.furtherReferee
Prof. Dr. Vincent Moncrief
dc.date.accepted
2014-01-22
dc.identifier.urn
urn:nbn:de:kobv:188-fudissthesis000000096194-2
dc.title.translated
Über das Cauchy Problem für energie-kritische selbst-gravitive Wave Maps
en
refubium.affiliation
Mathematik und Informatik
de
refubium.mycore.fudocsId
FUDISS_thesis_000000096194
refubium.mycore.derivateId
FUDISS_derivate_000000014819
dcterms.accessRights.dnb
free
dcterms.accessRights.openaire
open access