Exzeptionelle Folgen in der torischen Geometrie

Abstract

In dieser Arbeit werden vor allem exzeptionelle Folgen aus Geradenbündeln auf glatten, projektiven, torischen Flächen untersucht. Außerdem wird noch kurz auf den Fall torischer Orbifaltigkeiten eingegangen. Im ersten Kapitel wird die Sprache der torischen Geometrie vorgestellt. Das Augenmerk wird dabei besonders auf Flächen gelegt, sowohl torische als auch allgemeiner rationale ℂ*-Flächen. In den beiden folgenden Kapiteln werden die Techniken vorgestellt, die im zentralen vierten Kapitel zur Anwendung kommen. Zum einen sind das T-Deformationen rationaler ℂ*-Flächen, wie sie von Nathan Ilten entwickelt wurden. Diese Deformationen werden sehr explizit beschrieben und haben den zusätzlichen Vorteil, daß sie einen Isomorphismus von den Picardgruppen der Fasern induzieren. Darauf folgt im dritten Kapitel eine Darstellung der Methoden, die Lutz Hille und Markus Perling entwickelt haben, um exzeptionellen Folge aus Geradenbündeln auf einer rationalen Fläche zu studieren. Sie konnten einer solchen Folge eine torische Fläche zuordnen. Im Zuge dessen ergab sich eine Art „Aufblasung“ exzeptioneller Folgen, genannt Augmentation. Im vierten Kapitel verwende ich diese Techniken, um zu zeigen, daß für torische Flächen vom Picardrang 3 und 4 alle exzeptionellen Folgen durch Augmentation aus exzeptionellen Folgen auf Hirzebruchflächen gewonnen werden können. Für Picardrang 5 kann ich jedoch ein Gegenbeispiel anführen. Im abschließenden fünften Kapitel werden exzeptionelle Folgen auf torischen Orbifaltigkeiten betrachtet. Yujiro Kawamata konnte zeigen, daß jede torische Orbifaltigkeit eine volle, exzeptionelle Folge aufweist. Diese Folgen beschränken sich im Gegensatz zum Fall der Flächen nicht mehr nur auf Folgen aus Geradenbündeln. Sein Beweis baut auf dem torischen MMP auf. Dabei wird zunächst eine exzeptionelle Folge auf einem stacky, quasi-gewichteten, projektiven Raum konstruiert und anschließend über Mori-Faserung, divisorielle Kontraktion und Flip zu einer exzeptionellen Folge auf einer beliebigen torischen Orbifaltigkeit erweitert. Ich werde anhand der Beschreibung torischer Orbifaltigkeiten, wie sie von Lev Borisov, Linda Chen und Gregory Smith entwickelt wurde, die Teile in Kawamatas Arbeit zu diesen projektiven Räumen und der Mori-Faserung nachvollziehen.

In this dissertation, the main focus lies on exceptional sequences of line bundles on smooth projective toric varieties. Additionally, the generalisation to toric orbifolds is considered. In the first chapter, we introduce the language of toric geometry. We pay particular attention to surfaces, both to toric and to the slightly more general rational ℂ*-surfaces. In the following two chapters, we present the techniques, which we will apply in the essential fourth chapter. On the one hand, these are T-deformations of rational ℂ*-surfaces, as developped by Nathan Ilten. This kind of deformations can be described very explicitly. They have the additional advantage, that they induce an isomorphism of the Picard groups of the fibres. On the other hand, we present methods developped by Lutz Hille and Markus Perling when they studied exceptional sequences of line bundles on rational surfaces. They can associate to such an exceptional sequence a toric surface. Moreover, they can "blow-up" such an exceptional sequence, which is called augmentation. In the fourth chapter, we apply these techniques to show, that any exceptional sequences on any toric surfaces of Picard rank 3 and 4 can be obtained by augmentation from an exceptional sequence on a Hirzebruch surfaces. But there is a counterexample for Picard rank 5. In the final fifth chapter, we consider exceptional sequences on toric orbifolds. Yujiro Kawamata has shown, that any toric orbifold has a full exceptional sequence, which don't consist necessarily of line bundles as in the case of surfaces. His proof uses the toric MMP. First, he constructs an exceptional sequence on a stacky quasi-weighted projective space. By using Mori fibrations, divisorial contractions and flips he can extend this sequence to an exceptional sequence on any toric orbifold. Using the description of toric Orbifold as developped by Lev Borisov, Linda Chen, and Gregory Smith, we reprodruce Kawamata's proof for projective spaces and Mori fibrations.