dc.contributor.author
Fasso Velenik, Agnese
dc.date.accessioned
2018-06-07T15:44:43Z
dc.date.available
2003-11-04T00:00:00.649Z
dc.identifier.uri
https://refubium.fu-berlin.de/handle/fub188/1520
dc.identifier.uri
http://dx.doi.org/10.17169/refubium-5722
dc.description
Title, thanks and introduction
1\. A few tools 13
2\. Rational homotopy 21
3\. Classical LS-category 35
4\. Product formulas 47
5\. Rational LS-category 59
6\. Proof of the main theorem 65
7\. Applications 79
8\. Sectional category 91
Bibliography 107
Anhänge 103
dc.description.abstract
Among the numerous homotopy invariants the category of Lusternik-Schnirelmann
, or LS-category, of a topological space has aroused much interest since its
definition in 1934. For example it was shown that it is related to another
invariant: the cone-length of a space. Moreover LS-category can be extended
to continuous maps in three different ways, thus generating the F-category,
the R-category and the LS-category of a map, which are analogous to the
sectional category of a fibration. Finally Félix and Halperin gave a new
dimension to the LS-category by transferring it into the context of rational
homotopy theory: they gave a method to compute its rationalization directly in
the category of commutative cochain algebras (in short: cca's). They also
rationalized the F-category of a map.
In this thesis we are particularly interested in relative invariants of the
type of the LS-category, such as F-category, R-category, LS-category,
sectional category and cone-length of a map. In chapter 1 we introduce a few
tools which are very useful to define the various relative categories:
homotopy push-outs, homotopy pull-backs and joins. Then we give a brief
description of rational homotopy theory in chapter 2: we state the equivalence
of categories underlying it which links topological spaces and commutative
cochain algebras (in short: cca's). We also define (relative) Sullivan
algebras, which are particularly nice to deal with, and can be used as
building blocks when modelizing some topological constructions such as joins.
Chapter 3 is devoted on the one hand to a description of the original LS-
category and cone-length. In particular we give three equivalent definitions
of the LS-category: in terms of coverings, of fat wedges and of Ganea maps,
constructed by taking consecutive joins. We also give bounds for the LS-
category and the cone-length of a product of spaces. On the other hand we
introduce the F-category, the R-category and the LS-category of maps, giving
for each of them three equivalent definitions, as well as the cone-length of
a map.
In chapter 4 we find a bound for the cone-length of a product of maps and use
it to obtain bounds for the F-category, the R-category and the LS-category of
a product of maps.
Chapter 5 contains a summary of part of a paper from Félix and Halperin giving
a rationalization of the absolute LS-category and of the F-category and their
characterization directly in the rational context. We then introduce a
rationalization of the R-category and the relative LS-category and we state
our main theorem, allowing to compute them directly in the cca setting.
We give a proof of this assertion in chapter 6 by defining Ganea algebras and
Ganea morphisms modelling Ganea spaces and maps.
Some applications of the main theorem are given in chapter 7: we show that the
R-category can take up any value, and we simplify our main result in case the
map being considered is the inclusion of a fibre. Moreover we prove that the
rational relative category of a spherical fibration does not depend only on
the order of its Euler class as it is the case for its rational sectional
category.
Finally we devote our last chapter to the study of a new homotopy invariant:
the sectional category of a sequence of maps, which generalizes both the
sectional category of a fibration and the R-category. In this case as for the
classical LS-category we give three equivalent definitions in terms of
coverings, of generalized fat wedges and of generalized Ganea spaces. Moreover
we rationalize the new invariant and prove a theorem allowing its direct
computation in the rational setting.
de
dc.description.abstract
Wir studieren relative Homotopie-Invarianten des Types der Kategorie von
Lusternik-Schnirelmann, und zwar die F-Kategorie, die R-Kategorie, die LS-
Kategorie, die Schnittkategorie und die Kegellänge einer stetischen
Abbildung. Wir führen auch einen neuen Homotopieinvarianten ein: die
Schnittkategorie einer Folge von Abbildungen.
Im ersten Kapitel führen wir einige Werkzeuge ein, die sehr nützlich sind, um
die verschiedenen relativen Kategorien zu definieren: Homotopie Push-outs,
Homotopie Pull-backs und Joins. Danach geben wir eine kurze Beschreibung der
razionellen Homotopietheorie : wir drücken die zugrundeliegende
Kategorienäquivalenz aus, die topologische Räume und kommutative
Kokettenalgebren (cca's) verbindet. Wir definieren auch die (relativen)
Sullivan Algebren, die man als Ziegelsteine benutzen kann, wenn man einige
topologische Aufbauen wie Joins modelliert.
Im drittem Kapitel beschreiben wir zuerst die originellen LS-Kategorie und
Kegellänge. Wir geben besonders drei äquivalente Definitionen von LS-
Kategorie: durch Überdeckungen, durch Fat Wedges und durch Ganea Abbildungen,
die durch aufeinanderfolgende Joins aufgebaut werden. Wir geben auch Grenzen
für die LS-Kategorie und Kegellänge eines Produkts von Räumen. Im zweitem Teil
des Kapitels führen wir drei relative Invarianten ein, die die LS-Kategorie
ausweiten: die F-Kategorie, die R-Kategorie und die LS-Kategorie. Wir geben
für jede drei äquivalente Definitionen, dann führen wir die Kegellänge einer
Abbildung ein, die die originelle Kegellänge verallgemeinert.
Im Kapitel 4 finden wir eine Grenze für die Kegellänge eines Produkts von
Abbildungen und wir benutzen sie, um Grenzen für die F-Kategorie, die
R-Kategorie und die LS-Kategorie eines Produkts von Abbildungen zu erhalten.
Kapitel 5 enthaltet eine Zusammenfassung eines Teils eines Artikels von Félix
und Halperin, die eine Razionalisierung der absoluten LS-Kategorie und der
F-Kategorie und ihre direkte Charakterisierung im razionellen Zusammenhang
gibt. Danach führen wir eine Razionalisierung der R-Kategorie und der LS-
Kategorie einer Abbildung ein, und wir drücken unseren Haupttheorem aus, der
uns erlaubt, diese Kategorien direkt im cca Zusammenhang zu bestimmen.
Wir geben einen Beweis dieser Behauptung im Kapitel 6, damit wir Ganea
Algebren und Morphismen definieren, die die Ganea Räume und Abbildungen
modellieren.
Einige Einwendungen des Haupttheorems werden im Kapitel 7 gegeben: wir zeigen,
daß die R-Kategorie irgendein Wert erreichen kann, und wir vereinfachen unser
Hauptergebnis, wenn die betrachtete Abbildung die Inklusion einer Faser ist.
Auß erdem beweisen wir, daß die rationelle relative Kategorie einer
sphärischen Faserung nicht nur von dem Ordnung ihrer Eulerklass abhängt, so
wie im Fall der rationelle Schnittkategorie passiert.
Endlich widmen wir unseren letzten Kapitel dem Studium eines neues
Homotopieinvariants: die Schnittkategorie einer Folge von Abbildungen, die
beide die Schnittkategorie einer Faserung und die R-Kategorie
verallgemeinert.. In diesem Fall, so wie für die klassische LS-Kategorie,
geben wir drei äquivalente Definitionen durch Überdeckungen, durch
verallgemeinerte Fat Wedges und durch verallgemeinerte Ganea Räume. Außerdem
rationalisieren wir den neuen Invariant und wir beweisen einen Theorem, der
seine direkte Rechnung im rationalen Zusammenhang erlaubt.
de
dc.rights.uri
http://www.fu-berlin.de/sites/refubium/rechtliches/Nutzungsbedingungen
dc.subject
sectional category
dc.subject
rational invariants
dc.subject.ddc
500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::510 Mathematik
dc.title
Relative homotopy invariants of the type of the Lusternik-Schnirelmann
category
dc.contributor.firstReferee
Prof. Dr. Hans Scheerer
dc.contributor.furtherReferee
Prof. Dr. Yves Félix
dc.date.accepted
2003-05-09
dc.date.embargoEnd
2004-01-08
dc.identifier.urn
urn:nbn:de:kobv:188-2003002778
dc.title.translated
Relative Homotopie-Invarianten des Types der Kategorie von Lusternik-
Schnirelmann
de
refubium.affiliation
Mathematik und Informatik
de
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FUDISS_thesis_000000001150
refubium.mycore.transfer
http://www.diss.fu-berlin.de/2003/277/
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open access