dc.contributor.author
Schneider, Isabelle Anne Nicole
dc.date.accessioned
2018-06-07T15:43:40Z
dc.date.available
2016-12-14T13:55:29.945Z
dc.identifier.uri
https://refubium.fu-berlin.de/handle/fub188/1510
dc.identifier.uri
http://dx.doi.org/10.17169/refubium-5712
dc.description.abstract
Noninvasive time-delayed feedback control (''Pyragas control'') has been
investigated theoretically, numerically and experimentally during the last
twenty years. Its success has been proven or experimentally demonstrated for
numerous dynamical systems given by ordinary differential equations. In this
thesis we introduce new noninvasive spatio-temporal control terms for partial
differential equations with the purpose to stabilize unstable equilibria and
periodic orbits. We construct these successful control terms by introducing
the notion of control triples. The control triple defines how we transform
output signal, space, and time in the control term. This Ansatz, especially
well-suited for the control of partial differential equations, does not exist
in the literature so far. It incorporates the spatio-temporal patterns of the
equilibria and periodic orbits into the control term. We investigate the new
control triple method in the context of scalar reaction-diffusion equations on
the circle: For these equations we present two types of control schemes:
Control schemes of rotation type combine rotations in space, which we
interpret as a spatial delay, with a time delay and a sign change of the
output signal, while control schemes of reflection type combine reflections in
space, time delay and a sign change of the output signal. For control schemes
of rotation type it turns out that spatial delays of half the spatial period
combined with a small time delay and a sign change in the output signal are
successful in the stabilization of equilibria and periodic orbits. However,
those control terms which use a full spatial period, and consequently no sign
change of the output signal, fail their task of stabilization for every time
delay. This failure includes the control terms of Pyragas type. Using control
schemes of reflection type, we are able to stabilize orbits with an odd
reflection symmetry, but not those with an even symmetry. Here again, the sign
change of the output signal decides whether the control is successful or not.
The proof of stabilization uses a modified version of Hill's equation with
spatio-temporal delay. We combine Hill's equation with symmetry properties to
obtain the results. Finally, we present a detailed case study for a specific
reaction-diffusion equation, namely the Chafee-Infante equation. We discuss
possible extensions and limitations of our new control schemes.
de
dc.description.abstract
Nichtinvasive zeitverzögerte Rückkopplungskontrolle („Pyragas-Kontrolle“)
wurde während der letzten 20 Jahre intensiv theoretisch, numerisch und
experimentell untersucht. Ihr Erfolg wurde für zahlreiche dynamische Systeme,
die durch gewöhnliche Differentialgleichungen gegeben sind, bewiesen oder
experimentell überprüft. In dieser Arbeit führen wir neue nichtinvasive
räumlich-zeitliche Kontrollterme für partielle Differentialgleichungen ein,
mit dem Ziel, instabile Gleichgewichte und periodische Orbits zu
stabilisieren. Wir konstruieren diese erfolgreichen Kontrollterme indem wir
das Konzept der Kontroll-Tripel einführen. Das Kontroll-Tripel definiert, wie
wir das Ausgangssignal, den Raum und die Zeit im Kontrollterm transformieren.
Dieser Ansatz existiert bis jetzt nicht in der Literatur und er ist
insbesondere für die Kontrolle von partiellen Differentialgleichungen
konzipiert. Somit nutzen die neuen Kontrollterme auch die räumlich-zeitlichen
Muster der Gleichgewichte und periodischen Orbits. Wir untersuchen die neue
Kontroll-Tripel-Methode für skalare Reaktions-Diffusions-Gleichungen. Für
diese Gleichungen stellen wir zwei Kontrolltermtypen vor: Die Kontrollschemata
vom Rotationstyp kombinieren Rotationen im Raum, die wir als räumliche
Verzögerung interpretieren, mit einer Zeitverzögerung und einem
Vorzeichenwechsel im Ausgangssignal. Dagegen kombinieren die Kontrollschemata
vom Reflektionstyp Reflektionen im Raum, eine Zeitverzögerung und einen
Vorzeichenwechsel im Ausgangssignal. Bei den Kontrollschemata vom Rotationstyp
stellt sich heraus, dass räumliche Verzögerungen, die die Hälfte der
räumlichen Periode betragen, erfolgreich sind, wenn sie mit einer kleinen
Zeitverzögerung und einem Vorzeichenwechsel im Ausgangssignal kombiniert
werden. Dagegen scheitern diejenigen Kontrollterme, die eine volle räumliche
Periode nutzen, und somit auch keinen Vorzeichenwechsel im Ausgangssignal
haben, für beliebige Zeitverzögerungen. Mit den Kontrollschemata vom
Reflektionstyp können wir diejenigen Orbits mit einer ungeraden
Reflektionssymmetrie stabilisieren, aber nicht diejenigen mit einer geraden
Symmetrie. Auch hier entscheidet der Vorzeichenwechsel im Ausgangssignal, ob
die Kontrolle erfolgreich ist oder nicht. Für den Beweis der Stabilisierung
nutzen wir eine erweiterte Version von Hills Gleichung mit räumlich-zeitlicher
Verzögerung. Wir kombinieren Hills Gleichung mit Symmetrieeigenschaften, um
die Ergebnisse zu erhalten. Unsere Ergebnisse präsentieren wir auch im Rahmen
einer detaillierten Fallstudie für eine bestimmte Reaktions-Diffusions-
Gleichung, und zwar für die Chafee-Infante-Gleichung. Außerdem diskutieren wir
mögliche Erweiterungen sowie Einschränkungen unserer neuen Kontrollterme.
de
dc.format.extent
174 Seiten
dc.rights.uri
http://www.fu-berlin.de/sites/refubium/rechtliches/Nutzungsbedingungen
dc.subject
partial differential equations
dc.subject
feedback control
dc.subject
reaction-diffusion equations
dc.subject
Pyragas control
dc.subject
noninvasive control
dc.subject.ddc
500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::515 Analysis
dc.title
Spatio-temporal feedback control of partial differential equations
dc.contributor.firstReferee
Prof. Dr. Bernold Fiedler
dc.contributor.furtherReferee
Prof. Dr. Sjoerd M. Verduyn Lunel
dc.date.accepted
2016-10-27
dc.identifier.urn
urn:nbn:de:kobv:188-fudissthesis000000103581-9
dc.title.translated
Räumlich-zeitliche Rückkopplungskontrolle von partiellen
Differentialgleichungen
de
refubium.affiliation
Mathematik und Informatik
de
refubium.mycore.fudocsId
FUDISS_thesis_000000103581
refubium.mycore.derivateId
FUDISS_derivate_000000020469
dcterms.accessRights.dnb
free
dcterms.accessRights.openaire
open access