dc.contributor.author
Krausz, Andreas
dc.date.accessioned
2018-06-07T15:39:45Z
dc.date.available
2005-05-23T00:00:00.649Z
dc.identifier.uri
https://refubium.fu-berlin.de/handle/fub188/1413
dc.identifier.uri
http://dx.doi.org/10.17169/refubium-5615
dc.description
Titel, Zusammenfassung und Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 3
2 Integraldarstellungen im Einheitskreis 17
2.1 Greensche Funktionen höherer Ordnung 17
2.2 Darstellungen mit Greenschen Funktionen höherer Ordnung 17
2.3 Darstellungen mit Bergmanschen Kernen zweiter Ordnung 19
2.4 Bergmansche Kernfunktionen höherer Ordnung 21
2.5 Darstellungen mit Bergmanschen Kernen höherer Ordnung 26
2.6 Orthogonale Zerlegungen 31
2.7 Darstellungen mit gemischten Ableitungen der Greenschen Funktionen
höherer Ordnung 32
2.8 Allgemeine orthogonale Zerlegungen 34
3 Integraldarstellungen in Gebieten 38
3.1 Darstellungen mit Greenschen Funktionen höherer Ordnung 38
3.2 Darstellungen mit Bergmanschen Kernen höherer Ordnung 42
3.3 Orthogonale Zerlegungen 43
3.4 Darstellungen mit gemischten Ableitungen der Greenschen Funktionen
höherer Ordnung 48
3.5 Allgemeine orthogonale Zerlegungen 75
4 Integraldarstellungen in Poly-Gebieten 78
4.1 Allgemeine Darstellung in Poly-Gebieten 78
4.2 Darstellungen in Poly-Gebieten mit Greenschen Funktionen höherer Ordnung
86
4.3 Darstellungen in Poly-Gebieten mit Bergmanschen Kernen höherer Ordnung
88
4.4 Darstellungen in Poly-Zylindern mit Bergmanschen Kernen höherer Ordnung
89
4.5 Orthogonale Zerlegungen in Poly-Gebieten 90
5 Ausblick 96
A Anhang 100
A.1 Beweise der Hilfssätze aus Kapitel 2 100
A.2 Beweise der Hilfssätze aus Kapitel 3 103
B Lebenslauf 108
Literatur 110
dc.description.abstract
Die in der Cauchy-Pompeiu-Formel höherer Ordnung auftretenden Integralkerne
werden durch geeignete Ableitungen der Greenschen Funktion höherer Ordnung
ersetzt. Für ein reguläres Gebiet entstehen auf diese Weise
Integraldarstellungen, welche explizite direkte Zerlegungen des klassischen
Hilbertraumes der messbaren, quadratintegrierbaren, komplexwertigen Funktionen
bezüglich des Kernes eines Operators, der aus einer Kombination von Cauchy-
Riemann- und Anti-Cauchy-Riemann-Operatoren höherer Ordnung besteht, liefern.
Die Bestimmung des jeweiligen orthogonalen Komplements ist dabei ein
wesentliches Ergebnis.
Neben der Angabe dieser allgemeinen Zerlegungen werden speziell mittels der
Bergmanschen Kernfunktionen höherer Ordnung, die analog zum Fall erster
Ordnung durch bestimmte Differentiationen der Greenschen Funktionen höherer
Ordnung gewonnen werden können, Integraldarstellungen entwickelt. Mit diesen
Darstellungen können dann explizite orthogonale Zerlegungen des oben genannten
Hilbertraums bezüglich polyanalytischer und polyantianalytischer Funktionen
angegeben werden.
Darüberhinaus wird analog zur Cauchy-Pompeiu-Formel höherer Ordnung im Falle
eines einzelnen Gebietes für komplexwertige Funktionen mehrerer komplexer
Veränderlicher unter gewissen Differenzierbarkeitsbedingungen eine allgemeine
Integraldarstellung höherer Ordnung in Poly-Gebieten entwickelt. Mit deren
Hilfe können dann obige Ergebnisse durch komponentenweise Auswertung auf Poly-
Gebiete verallgemeinert werden. Beispielsweise werden Integraldarstellungen
für Poly-Gebiete mit Bergmanschen Kernen höherer Ordnung formuliert. Mit
diesen Darstellungen können dann explizite orthogonale Zerlegungen der
entsprechenden Hilberträume in den Teilraum der polyplurianalytischen bzw.
polypluriantianalytischen Funktionen und die jeweiligen orthogonalen
Komplemente angegeben werden. Wie im speziellen Fall der Darstellung mittels
Bergmanscher Kerne höherer Ordnung in Poly-Gebieten ist auch im allgemeinen
Fall die Angabe des jeweiligen orthogonalen Komplements ein wesentliches
Ergebnis.
Exemplarisch werden diese Ergebnisse für den Einheitskreis und den Poly-
Zylinder studiert. Denn im Einheitskreis kann die Bergmansche Kernfunktion
höherer Ordnung berechnet werden, da die Greensche Funktion höherer Ordnung
bekannt ist. Entsprechend lassen sich die oben genannten Ergebnisse auf Poly-
Zylinder übertragen.
de
dc.description.abstract
The integral kernels occuring in the higher-order Cauchy-Pompeiu formula are
expressed through suitable derivatives of a respective higher-order Green
function. For a regular domain the resulting integral representations are used
to derive explicit orthogonal decompositions of the classical Hilbert space of
measurable, square integrable, complex-valued functions with respect to the
kernel of an operator consisting of a combination of higher-order Cauchy-
Riemann as well as anti-Cauchy-Riemann operators. The determination of the
orthogonal complement is thereby an essential result.
Besides the determination of the general decompositions, special integral
representations are given involving the higher-order Bergman kernel function,
which is analougous to the first-order case a certain derivative of the
higher-order Green function. These representations are used to decompose the
above mentioned Hilbert space explicitly into a direct sum of the subspace of
polyanalytic as well as polyantianalytic functions and its respective
orthogonal complement.
Moreover a general higher-order integral representation formula for
polydomains is given. With the help of this representation the above mentioned
results are generalized to polydomains. For instance integral representations
for polydomains involving higher-order Bergman kernels are available and
explicit orthogonal decompositions of the corresponding Hilbert spaces into
the subspaces of polyplurianalytic as well as polypluriantianalytic functions
and their respective orthogonal complements are given. As in the one-
dimensional case the determination of the orthogonal complement is thereby an
essential result.
In order to be explicit and since the higher-order Green function (and
therefore the higher-order Bergman kernel function) for the unit disc is
known, the particular case of the unit disc as well as the unit polydisc is
studied.
en
dc.rights.uri
http://www.fu-berlin.de/sites/refubium/rechtliches/Nutzungsbedingungen
dc.subject
higher-order Bergman kernel
dc.subject
higher-order Cauchy-Pompeiu representation
dc.subject
polyplurianalytic
dc.subject
polypluriantianalytic
dc.subject
orthogonal decomposition
dc.subject.ddc
500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::510 Mathematik
dc.title
Integraldarstellungen mit Greenschen Funktionen höherer Ordnung in Gebieten
und Poly-Gebieten
dc.contributor.firstReferee
Prof. Dr. Heinrich Begehr
dc.contributor.furtherReferee
Prof. Dr. G. N. Hile
dc.date.accepted
2005-05-11
dc.date.embargoEnd
2005-05-25
dc.identifier.urn
urn:nbn:de:kobv:188-2005001284
dc.title.translated
Integral representations with higher-order Green functions in domains and
polydomains
en
refubium.affiliation
Mathematik und Informatik
de
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FUDISS_thesis_000000001659
refubium.mycore.transfer
http://www.diss.fu-berlin.de/2005/128/
refubium.mycore.derivateId
FUDISS_derivate_000000001659
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open access