On Isoparametric Catmull-Clark Finite Elements for Mean Curvature Flow

Abstract

Subdivision surfaces are widely used in the area of geometric modeling and computer animation. They represent a computer-aided tool for the construction of smooth surfaces based on the repeated refinement of coarse control grids. For some of these constructions, the limit surface, which is defined as the limit of such a refinement, can be described by means of a parameterization. As a result of the parameterization a new class of finite element methods has been introduced in recent years. The high regularity properties, that the so- called subdivision finite elements imply, are of particular interest in solving higher order partial differential equations. The finite elements satisfy the continuity conditions of the solution in respect thereof. Although this concept is based on a basically simple subdivision procedure, it has not yet been fully analyzed. Compared to the classical finite element methods, there is a significant problem with regard to the rather complex underlying structure of the included irregular elements. The development of integrated finite element methods evolved into a new, fast-growing area of the so-called isogeometric analysis. A major advantage of these methods against the previously known finite elements lies in the interoperability between systems of computer-aided design and manufacturing (CAD and CAM), and the finite element simulation. Using unified basis functions the gap between the representation of geometric shapes and finite element approaches can be bridged. Therefore, the expensive and error-prone data conversion between design and analysis systems can be ignored. In this thesis, we deal with the study of subdivision finite element methods for the solution of differential equations on curved surfaces based on the Catmull-Clark subdivisions. The focus is on quadrangular control grids and the characteristic parameterization of the limit surfaces. These are descried using the generalized B-spline basis functions of the Catmull-Clark type. In particular, we present a new finite element approach compatible with the classical definition of the subdivision surfaces. Compared to the previously used natural finite elements, the form of the grid and, consequently, the stability of the limit surface remains resistant. This is achieved as the characteristic finite elements inherit the continuity properties of the subdivision surfaces classically generated by grid refinements. The mean curvature flow is considered as a model problem for the numerical analysis of the Catmull-Clark finite element method. The mean curvature flow is determined by a geometric evolution equation, which represents the temporal change of surfaces in the three-dimensional space. The change of the direction and of the speed is prescribed by the normal vector and the mean curvature of the surface. Furthermore, it should be noted that, under the prescription of a boundary curve, the critical points of the curvature flow describe minimal surfaces. Minimal surfaces are characterized by having the locally least area compared to all surfaces enclosed by the prescribed boundary curve. Because of this property, these surfaces are particularly interesting for many applications in the fields of architecture, art, molecular engineering, materials science and engineering. This thesis deals in particular with the approximation of periodic minimal surfaces. We describe a method for the construction of stable periodic Catmull-Clark limit surfaces with minimal area. The method is based on the numerical evolution model of a given surface under the mean curvature flow. Using the Schwarz reflection principle, we describe a construction for the assembly of the corresponding boundary conditions that complies with the subdivision surfaces.

Unterteilungsflächen sind in dem Bereich der geometrischen Modellierung und Computeranimation weit verbreitet. Sie stellen ein rechnerunterstütztes Werkzeug für die Konstruktion von glatten Oberflächen dar, basierend auf der wiederholten Verfeinerung von groben Gittern. Für manche dieser Konstruktionen lässt sich die Grenzfläche, die als Grenzwert einer solchen Verfeinerung definiert wird, mittels einer Parametrisierung beschreiben. Infolge der Parametrisierung wurde in den letzten Jahren eine neue Klasse von Finite- Elemente-Methoden eingeführt. Die hohen Regularitätseigenschaften, die die sogenannten Unterteilungs-Finite-Elemente-Methoden implizieren, sind von besonderem Interesse für die Lösung von partiellen Differentialgleichungen höherer Ordnung. In Bezug darauf genügen die finiten Elemente den Stetigkeitsbedingungen der Lösung. Allerdings ist dieses Konzept, das auf einem grundsätzlich einfachen Unterteilungsverfahren basiert, noch nicht vollständig analysiert worden. Im Vergleich zu den klassischen Finite- Elemente-Methoden stellt sich ein wesentliches Problem im Hinblick auf die recht komplexe zugrunde liegende Struktur der enthaltenen irregulären Elemente. Mit der Entwicklung einheitlicher Finite-Elemente-Methoden beschäftigt sich ein neues, rasch wachsendes Gebiet der sogenannten Isogeometrischen Analysis. Ein wesentlicher Vorteil dieser Methoden gegenüber den bislang bekannten finiten Elementen liegt in der Interoperabilität zwischen Systemen des computergestützten Designs und Fertigung (CAD und CAM) und der Finite-Elemente-Simulation. Mittels einheitlicher Basisfunktionen kann die Kluft zwischen der Darstellung von geometrischen Formen und Finite- Elemente-Ansatzräumen überbrückt werden. Der kostenaufwendige und fehleranfällige Datenaustausch zwischen Design- und Analysesystemen kann dadurch übergangen werden. In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der Untersuchung von Unterteilungs-Finite-Elemente-Methoden für die Lösung von Differenzialgleichungen auf gekrümmten Flächen basierend auf den Catmull–Clark Unterteilungsflächen. Im Mittelpunkt stehen Vierecksnetze und die charakteristische Parametrisierung der Grenzflächen. Diesewerden mittels den generalisierten B-Spline- Basisfunktionen vom Catmull–Clark Typ beschrieben. Insbesondere präsentieren wir einen neuen Finite-Elemente-Ansatz, der mit der klassischen Definition der Unterteilungsflächen kompatibel ist. Im Gegensatz zu den bisher verwendeten natürlichen finiten Elementen bleibt die Form der Gitter und somit die Beständigkeit der Grenzfläche bestehen. Dieses kann erreicht werden, da die charakteristischen finiten Elemente die Stetigkeitseigenschaften der durch Gitterverfeinerung erzeugten Unterteilungsflächen vererben. Für die numerische Analyse der Catmull–Clark- Finite-Elemente-Methode wird als Modellproblem der mittlere Krümmungsfluss betrachtet. Der mittlere Krümmungsfluss wird durch eine geometrische Evolutionsgleichung definiert, die die die zeitliche Änderung von Flächen im dreidimensionalen Raum beschreibt, dabei wird die Richtung und die Geschwindigkeit der Änderung von dem Normalenvektor und der mittleren Krümmung der Fläche vorgegeben. Weiterhin ist darauf hinzuweisen, dass unter der Vorgabe einer Randkurve die kritischen Punkte des Krümmungsflusses eine Minimalfläche beschreiben. Minimalflächen zeichnen sich dadurch aus, dass sie den lokal kleinsten Oberflächeninhalt haben, im Vergleich zu allen von der vorgegebenen Randkurve umschlossenen Flächen. Aufgrund dieser Eigenschaft sind diese Flächen außerordentlich interessant für viele Anwendungen im Bereich der Architektur, Kunst, Molekulartechnik, Materialwissenschaft und Werkstofftechnik. Diese Arbeit beschäftigt sich insbesondere mit der Approximation von periodischen Minimalflächen. Wir beschreiben ein Verfahren zur Konstruktion von stabilen periodischen Catmull–Clark Grenzflächen mit minimalem Oberflächeninhalt. Das Verfahren basiert auf dem numerischen Evolutionsmodell einer gegebenen Fläche unter dem mittleren Krümmungsfluss. Unter Verwendung des Schwarzschen Spiegelungsprinzips beschreiben wir eine Konstruktion für die Assemblierung der entsprechenden Randbedingungen, die im Einklang mit den Unterteilungsflächen ist.