Non-commutative Representation for Quantum Systems on Lie Groups

Abstract

The topic of this thesis is a new representation for quantum systems on weakly exponential Lie groups in terms of a non-commutative algebra of functions, the associated non-commutative harmonic analysis, and some of its applications to specific physical systems. In the first part of the thesis, after a review of the necessary mathematical background, we introduce a *-algebra that is interpreted as the quantization of the canonical Poisson structure of the cotangent bundle over a Lie group. From the physics point of view, this represents the algebra of quantum observables of a physical system, whose configuration space is a Lie group. We then show that this quantum algebra can be represented either as operators acting on functions on the group, the usual group representation, or (under suitable conditions) as elements of a completion of the universal enveloping algebra of the Lie group, the algebra representation. We further apply the methods of deformation quantization to obtain a representation of the same algebra in terms of a non-commutative algebra of functions on a Euclidean space, which we call the non-commutative representation of the original quantum algebra. The non-commutative space that arises from the construction may be interpreted as the quantum momentum space of the physical system. We derive the transform between the group representation and the non-commutative representation that generalizes in a natural way the usual Fourier transform, and discuss key properties of this new non-commutative harmonic analysis. Finally, we exhibit the explicit forms of the non-commutative Fourier transform for three elementary Lie groups: R^d, U(1) and SU(2). In the second part of the thesis, we consider application of the non-commutative representation and harmonic analysis to physics. First, we apply the formalism to quantum mechanics of a point particle on a Lie group. We define the dual non-commutative momentum representation, and derive the phase space path integral with the help of the non-commutative dual variables. In studying the classical limit of the path integral, we show that we recover the correct classical equations of motion for the particle, if we account for the deformation of the phase space in the variational calculus. The non- commutative variables correspond in this limit to the classical momentum variables, further verifying their physical interpretation. We conclude that the non-commutative harmonic analysis facilitates a convenient study of the classical limit of quantum dynamics on a Lie group even if the group is compact, in which case variational calculus cannot easily be applied. As the second physics application, we repeat our above considerations for the case of Ponzano-Regge spin foam model for 3-dimensional quantum gravity. The non- commutative dual variables correspond in this case to discrete metric variables, thus illuminating the geometrical interpretation of the model. Again, we find that a convenient study of the classical limit is made possible through the non-commutative phase space path integral.

Das Thema dieser Arbeit ist eine neue Darstellung für Quantensysteme auf schwach exponentiellen Lie-Gruppen im Sinne einer nichtkommutativen Algebra von Funktionen, die zugehörige nichtkommutative harmonische Analyse, und einige ihrer Anwendungen auf bestimmte physikalische Systeme. Im ersten Teil der Arbeit, nach einem überblick über den notwendigen mathematischen Hintergrund, führen wir eine *-Algebra ein, die als Quantisierung der kanonischen Poisson-Struktur des Kotangentialbündels über eine Lie-Gruppe interpretiert wird. Aus physikalischer Sicht stellt diese die Algebra der Quantenobservablen eines physikalischen Systems dar, dessen Konfigurationsraum eine Lie-Gruppe ist. Wir zeigen dann, dass diese Quantenalgebra eine Darstellung entweder als Operatoren hat, welche auf Funktionen auf der Gruppe wirken, die übliche Gruppen-Darstellung, oder (unter geeigneten Bedingungen) als Elemente einer Vervollständigung der universellen einhüllenden Algebra der Lie-Gruppe, die Algebra-Darstellung. Weiterhin wenden wir die Methode der Deformierungs-Quantisierung an, um eine Darstellung derselben Algebra als nichtkommutative Algebra von Funktionen auf einem euklidischen Raum zu erhalten, die wir als nichtkommutative Darstellung der ursprünglichen Quantenalgebra bezeichnen. Der aus dieser Konstruktion resultierende nichtkommutative Raum kann als Quanten-Impulsraum des physikalischen Systems interpretiert werden. Wir leiten die Transformation zwischen der Gruppen- Darstellung und der nichtkommutativen Darstellung her, die auf natürliche Weise die übliche Fourier-Transformation verallgemeinert, und besprechen wichtige Eigenschaften dieser neuen nichtkommutativen harmonischen Analyse. Schlie’ilich präsentieren wir die explizite Form der nichtkommutativen Fourier-Transformation am Beispiel dreier elementarer Lie-Gruppen: R^d, U(1) und SU(2). Im zweiten Teil der Arbeit betrachten wir die Anwendung der nichtkommutativen Darstellung und der harmonischen Analyse auf die Physik. Zuerst wenden wir den Formalismus auf die Quantenmechanik eines Punktteilchens auf einer Lie-Gruppe an. Wir definieren die duale nichtkommutative Impulsdarstellung und leiten das Phasenraum-Pfadintegral mit Hilfe der nichtkommutativen dualen Variablen her. Bei der Untersuchung des klassischen Limes des Pfadintegrals zeigen wir, dass wir die richtigen klassischen Bewegungsgleichungen für das Teilchen erhalten, wenn wir in der Variationsrechnung die Deformierung des Phasenraums berücksichtigen. Die nichtkommutativen Variablen entsprechen in diesem Limes den klassischen Impuls-Variablen, womit ihre physikalischen Interpretation weiterhin bestätigt wird. Wir schlie’ien daraus, dass die nichtkommutative harmonische Analyse ein zweckmäßiges Studium des klassischen Limes der Quantendynamik auf einer Lie- Gruppe ermöglicht, selbst wenn die Gruppe kompakt ist, in welchem Fall die Variationsrechnung nicht leicht angewendet werden kann. Als zweite physikalische Anwendung wiederholen wir unsere obigen Betrachtungen für den Fall des Ponzano-Regge-Spinfoam-Modells für dreidimensionale Quantengravitation. Die dualen nichtkommutativen Variablen entsprechen in diesem Fall diskreten Metrik-Variablen und erhellen damit die geometrische Interpretation des Modells. Auch hier finden wir, dass das Studium des klassischen Limes in geeigneter Weise durch das nichtkommutative Phasenraum- Pfadintegral ermöglicht wird.