dc.contributor.author
Hell, Juliette
dc.date.accessioned
2018-06-08T00:22:21Z
dc.date.available
2010-11-03T12:54:52.371Z
dc.identifier.uri
https://refubium.fu-berlin.de/handle/fub188/11849
dc.identifier.uri
http://dx.doi.org/10.17169/refubium-16047
dc.description.abstract
This work deals with the analysis of the dynamics at infinity and its
relations to the finite dynamics. A trajectory undergoes a blow-up when its
norm becomes infinite in finite time, a grow-up when its norm becomes infinite
in infinite time. We interpret such trajectories as heteroclinic orbits to
infinity. We aim at describing which finite invariant sets are connected to
infinity via such blow/grow-up trajectories. There is a classical method for
the detection of heteroclinic orbits called the Conley index Theory and based
on topological machinery. Regrettably, this tool does not naturally access to
unbounded sets. To circumvent this difficulty, we "compactifify" the phase
space. To this aim, we proceed to a projection of the phase space X onto a
bounded manifold. There are several ways to achieve this. We focus on two of
them: the Bendixson compactification and the Poincaré compactification. These
were originally developed for the analysis of planar vector fields. We show
indeed that they are also valid in Hilbertspaces. However the term
"compactification" is misleading in case of an infinite dimensional phase
space X because the resulting "compactified" phase space is a bounded but
infinite dimensional Hilbert manifold, hence not compact. We keep this name
for historical reasons though. The Bendixson compctification projects infinity
on a point while infinity spreads out on a sphere with the Poincaré
compactification. The direct application of the Conley index methods on the
point at infinity or on invariant sets in the sphere at infinity often fails.
the requirement of isolated invariance is even in simple cases not always
fulfilled. We introduce the concept of invariant set S with isolated invariant
dynamical complement. Roughly speaking, the dynamical complement of an
invariant set S contains the dynamics that remains bounded away from S. This
concept is used in the construction of an extended phase space and an extended
flow where the degenerate set S is replaced by an ersatz that can be dealt
with via Conley index methods. Our main result states the correspondence
between heteroclinic connections to the ersatz in the extended flow and
connections to the set S in the original compactified flow. We give examples
for dynamics at infinity and set the groundwork towards applications of these
methods for ODEs and PDEs.
de
dc.description.abstract
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Analyse der Dynamik im Unendlichen, und
wie diese mit der endlichen Dynamik zusammenhängt. Eine Trajektorie . Solche
Trajektorien betrachten wir als heterokline Orbits zum Unendlichen. Wir wollen
beschreiben, welche invarianten Mengen mit dem Unendlichen durch solchen
explodierenden Orbits verbunden sind. Zum Nachweis heterokliner Trajektorien
existiert eine klassische Methode, die auf Topologie basiert: die Conley-Index
Theorie. Allerdings kann man den Conley-Index nicht auf unbeschränkte Mengen
anwenden. Um diese Schwierigkeit zu umgehen, wird eine "Kompaktifizierung" des
Phasenraumes vorgenommen. Dabei geht es darum, den Phasenraum X auf eine
beschränkte Mannigfaltigkeit zu projizieren. Dies kann auf verschiedene Art
und Weise geschehen. Wir konzentrieren uns auf zwei: die Bendixson--
Kompaktifizierung, und die Poincaré--Kompaktifizierung. Diese wurden
ursprünglich für die Analyse von planaren Vektorfeldern entwickelt. Wir zeigen
aber, dass diese Kompaktifizierungen in einem Hilbertraum durchführbar sind.
Bei einem unendlich--dimensionalen Raum X ist die Bezeichnung
"Kompaktifizierung" eigentlich falsch, da die Hilbert-Mannifaltigkeit, die
dabei herauskommt, zwar beschränkt ist, aber wegen ihrer unendlichen Dimension
nicht kompakt. Wir behalten den Namen trotzdem aus historischen Gründen. Bei
der Bendixson-Kompaktifizierung wird Unendlich auf einem Punkt abgebildet,
während in der Poincaré-Kompaktifizierung es sich in einer ganzen Sphäre
ausbreiten kann. Die direkte Anwendung der Conley-Index Methoden auf dem Punkt
im Unendlichen, oder auf einer invarianten Menge in der Sphäre im Unendlichen
ist nicht immer möglich: die ausschlaggebende Voraussetzung der isolierten
Invarianz ist oft im Unendlichen verletzt, sogar für relativ einfache planare
Vektorfelder. Wir führen das Konzept einer invariante Menge S im Unendlichen,
die einen isoliert invariantes "dynamischen" Komplement S besitzt, ein. Dieses
dynamische Komplement enthält, grob gesagt, die Dynamik, die fern von S
bleibt. Es erlaubt uns, einen erweiterten Phasenraum und einen erweiterten
Fluss zu konstruieren, wobei die "degenerierte" invariante Menge S durch etwas
ersetzt wird, womit der Conley-Index gut umgehen kann. Unser Hauptresultat
besagt, dass die Existenz von heteroklinen Trajektorien zwischen einer
invarianten Menge S und dem "Ersatz" unter dem erweiterten Fluss von Conley-
Index Methoden nachweisbar ist, und liefert die Existenz von echten
heteroklinen Trajektorien nach S. Darüber hinaus zeigen wir Beispielen für
Dynamik im Unendlichen und die Anwendung dieser Methoden für gewöhnliche und
teilweise auch für partielle Differentialgleichungen.
de
dc.format.extent
VIII, 161 S.
dc.rights.uri
http://www.fu-berlin.de/sites/refubium/rechtliches/Nutzungsbedingungen
dc.subject
compactification
dc.subject.ddc
500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik
dc.subject.ddc
500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::515 Analysis
dc.title
Conley index at infinity
dc.contributor.contact
blanca@math.fu-berlin.de
dc.contributor.firstReferee
Fiedler, Bernold
dc.contributor.furtherReferee
Mischaikow, Konstantin
dc.date.accepted
2009-11-09
dc.identifier.urn
urn:nbn:de:kobv:188-fudissthesis000000019567-4
dc.title.translated
Conley Index im Unendlichen
de
refubium.affiliation
Mathematik und Informatik
de
refubium.mycore.fudocsId
FUDISS_thesis_000000019567
refubium.mycore.derivateId
FUDISS_derivate_000000008451
dcterms.accessRights.dnb
free
dcterms.accessRights.openaire
open access