Path Integral Methods in Quantum Statistics, Quantum Field Theory, and Membrane Physics

Abstract

The main aspect of this thesis was to extend the range of applicability for functional integrals in quantum statistics and quantum field theory. Distributed over four parts, this thesis combines the formal justification of dealing with continuous path integrals from a perturbative point of view and a general solution for Gaussian path integrals in phase space with variational perturbation theory as a powerful resummation method which is also applicable for strongly coupled systems, where perturbative methods fail. The perturbative column on the one hand and the nonperturbative one on the other hand are bridged by a recursive graphical construction method which permits a systematic generation of all topologically different Feynman diagrams contributing to any order of perturbation with their correct multiplicities. As an interesting detail, the applicability of this method in quantum field theory is demonstrated for quantum electrodynamical scattering processes.

Motivated by the partial nonexistence of analytic results we have applied variational perturbation theory for atomic systems at arbitrary temperature and thermodynamical properties of fluctuating membranes. To this end, we have extended and generalized variational perturbation theory in a manifold way. For calculating density matrices, we generalized the smearing formula which accounts for the effects of thermal and quantum fluctuations. This was essential for the treatment of nonpolynomial interactions. We applied the theory to calculate the particle density in the double-well potential, and the electron density in the Coulomb potential, the latter as an example for nonpolynomial application. In both cases, the approximations were satisfactory.

We have also calculated the effective classical potential for the hydrogen atom in a magnetic field. For this we have extended variational perturbation theory to phase space to make it applicable to physical systems with uniform external magnetic field. The effective classical potential containing the complete quantum statistical information of the system was determined in first-order variational perturbation theory. For zero-temperature, it gave the binding energy of the system. Our result consists of a single analytic expression which is quite accurate at all temperatures and magnetic field strengths. The different asymptotic behavior of the perturbation series for the binding energy for weak and strong magnetic fields has been investigated in detail. In the weak-field case, we confirmed the power series character of the expansion, while for strong magnetic field strengths a deeply structured logarithmic behavior occurs.

As an application for strong-coupling theory in membrane physics, we have calculated the universal constant $\alpha$ occurring in the pressure law of a membrane fluctuating between two walls. This has been done by replacing the walls by a smooth potential. The anharmonic part of the smooth potential was treated perturbatively and the strong-coupling limit of the power series was calculated by variational perturbation theory. Extrapolating the lowest four approximations to infinity yields a pressure constant, which is in very good agreement with Monte Carlo values.

We have also calculated the pressure constants for a stack of different numbers of membranes between two walls in excellent agreement with results from Monte Carlo simulations. The requirement that the membranes cannot penetrate each other was accounted for by introducing a repulsive potential and going to the strong-coupling limit of hard repulsion. We have used the similarity of the membrane system to a stack of strings enclosed by line-like walls, which is exactly solvable, to determine the potential parameters in such a way that the two-loop result is exact. This minimizes the neglected terms in the variational perturbation expansion, when applying the same potential to membranes.

Ein wesentlicher Aspekt dieser Dissertationsschrift ist die Erweiterung der Anwendbarkeit von Funktionalintegralen in Quantenstatistik und Quantenfeldtheorie. Im ersten Teil wird die Definition kontinuierlicher statistischer Pfadintegrale von einem störungstheoretischen Standpunkt aus diskutiert, der automatisch auf eine Hochtemperaturentwicklung führt. Anschließend werden allgemeine Gaußsche Phasenraum-Pfadintegrale behandelt, wobei die harmonischen Korrelationsfunktionen dazu dienen, die Variationsstörungstheorie als Resummationsmethode für divergente Störungsreihen in den Teilen drei und vier weiterzuentwickeln. Der störungstheoretische Teil auf der einen Seite und die nichtperturbative Berechnung von Pfadintegralen auf der anderen wird überbrückt mit der Entwicklung einer rekursiven graphischen Konstruktionsmethode für Feynman- Diagramme in Teil zwei. Damit lassen sich systematisch alle topologisch verschiedenen Diagramme und ihre Multiplizitäten generieren, die zu einer bestimmten Ordnung der Störungsentwicklung beitragen. Entwickelt für die Erzeugung der Vakuumdiagramme für die freie Energie des anharmonischen Oszillators in hohen störungstheoretischen Ordnungen, lassen sich die grundlegenden graphischen Manipulationstechniken wie Aufschneiden und Amputieren von Linien und Vertizes auch auf n-Punkt-Korrelationsfunktionen anwenden. Damit können auch Graphen für Streuprozesse in Quantenfeldtheorien systematisch generiert werden, wie an verschiedenen Beispielen aus der Quantenelektrodynamik demonstriert wird.

Motiviert durch zum Teil nicht existierende analytische Resultate wird die Variationsstörungstheorie auf atomare Systeme bei beliebigen Temperaturen und zur Bestimmung thermodynamischer Eigenschaften fluktuierender Membranen angewendet. Dies wird durch die Erweiterung des Resummationsverfahrens in vielfältiger Weise möglich. Die Berechnung von Dichtematrizen macht z.B. eine Verallgemeinerung der Verschmierungsformel erforderlich, bei der eine Gaußsche Faltung des klassischen Potentials die Berücksichtigung von thermischen und Quantenfluktuationen ermöglicht. Diese Verschmierungsformel ist ein wesentliches Hilfsmittel insbesondere bei nichtpolynomialen Potentialen, wo die übliche Wick-Regel zur Zerlegung der Korrelationsfunktionen einer Verallgemeinerung bedarf. Diese Theorie wird auf die Berechnung der Teilchendichte im Doppelmulden-Potential und die Elektronendichte im Coulomb- Potential angewendet, wobei letzteres als nichtpolynomiales Beispiel dient. In beiden Fällen liefert das Näherungsverfahren gute Ergebnisse.

Eine weitere wichtige Anwendung ist die Berechnung des effektiven klassischen Potentials für das Wasserstoffatom im Magnetfeld. Hierfür wird die Variationsstörungstheorie im Phasenraum formuliert, so daß sie jetzt auch für Systeme mit verallgemeinerten Impulsen benutzt werden kann. Das effektive klassische Potential, das die gesamte quantenstatistische Information eines Systems enthält, wurde in erster Ordnung Variationsstörungstheorie bestimmt. Im Grenzfall verschwindender Temperatur liefert das Minimum des effektiven klassischen Potentials die Grundzustandsenergie des Systems. Wir erhalten einen analytischen Ausdruck, der automatisch die Grenzfälle schwacher und starker Magnetfelder interpoliert und für alle Feldstärken genaue Ergbenisse liefert. Das für schwache und starke Felder sehr unterschiedliche asymptotische Verhalten der Bindungsenergie läßt sich mit Hilfe unseres Ausdruckes detailliert untersuchen. Im Schwachfeldfall wird das Potenzreihenverhalten der Entwicklung bestätigt, während für starke Felder ein kompliziert strukturiertes logarithmisches Verhalten auftritt.

Als Anwendung der Starkkopplungstheorie in der Membranphysik wird die universelle Druckkonstante berechnet, die im Druckgesetz von Helfrich für eine Membran auftritt, die zwischen zwei Wänden fluktuiert. Dabei werden die Wände durch ein parameterbehaftetes Potential simuliert, das so konstruiert ist, daß es für verschwindenden Parameter die Wände exakt reproduziert. Der nichtharmonische Anteil des Potentials kann störungstheoretisch behandelt und die Störungsreihe mit Hilfe der Variationsstörungstheorie näherungsweise aufsummiert werden. Die erhaltenen Näherungen in verschiedenen Ordnungen der Variationsstörungstheorie lassen sich ins Unendliche extrapolieren. Die so erhaltene Druckkonstante ist in exzellenter Übereinstimmung mit früheren Monte-Carlo-Ergebnissen.

Ein ähnliches Verfahren dient dazu, die Druckkonstanten für einen Stapel von mehreren Membranen zwischen zwei Wänden zu berechnen. Wiederum stimmen die Ergebnisse sehr gut mit aus Monte-Carlo-Simulationen gewonnenen Werten überein. Der Notwendigkeit, daß sich die Membranen nicht gegenseitig durchdringen dürfen, wird durch die Betrachtung des Starkkopplungs-Grenzwertes eines künstlich eingeführten Abstoßungspotentials Rechnung getragen. Dabei wird die Ähnlichkeit zwischen dem Membranstapel und einem System von Strings ausgenutzt, die sich zwischen zwei linienartigen Wänden befinden. Dieses Vergleichssystem ist exakt behandelbar und dient der Bestimmung von Potentialparametern, die sich dann unmittelbar für das Membranproblem verwenden lassen.