Boundary value problems for complex partial differential equations in fan- shaped domains

Abstract

In this dissertation, we investigate some boundary value problems for complex partial differential equations in fan-shaped domains. First of all, we establish the Schwarz-Poisson representation in fan-shaped domains with angle π/n (n ∈ N) by the reflection method, and study the corresponding Schwarz and Dirichlet problems respectively. Further, the Schwarz-Poisson formula is extended to the general fan-shaped domains with angle π/α (α ≥ 1/2) by proper conformal mappings, and then the Schwarz and Dirichlet problems for the Cauchy-Riemann equation are solved. Next, we also establish a bridge between the unit disc and the fan-shaped domain with α = 1/2, and the Schwarz-Poisson formula for the unit disc is derived from the Schwarz-Poisson formula for α = 1/2. Then, we firstly obtain a harmonic Green function and a harmonic Neumann function in the fan-shaped domain with angle π/α (α ≥ 1/2), and then investigate the Dirichlet and Neumann problems for the Poisson equation. In particular, the outward normal derivative at the three corner points is properly defined. Next, a biharmonic Green function, a biharmonic Neumann function, a triharmonic Green function, a triharmonic Neumann function and a tetra-harmonic Green function are constructed for the fan-shaped domain with angle π/n (n ∈ N) in explicit form respectively. Moreover, we give the process of constructing a tetra-harmonic Neumann function and the expression of the tetra-harmonic Neumann function with integral representation. Accordingly, the Dirichlet and Neumann problems are discussed. Finally, we establish the iterated expressions and the solvability conditions of polyharmonic Dirichlet and Neumann problems for the higher order Poisson equation in the fan-shaped domain with angle π/n (n ∈ N) respectively. In the meantime, the boundary behavior of polyharmonic Green and polyharmonic Neumann functions by convolution are discussed in detail. Besides, in the Appendix, the tetra- harmonic Green function and the triharmonic Neumann function for the unit disc are constructed in explicit form.

In dieser Dissertation werden einige Randwertprobleme für komplexe partielle Differentialgleichung in Kreissektoren untersucht. Zuerst wird die Schwarz- Poisson Integraldarstellung in Kreissektoren mit dem Öffnungswinkel π/n (n ∈ N) mit Hilfe der Reflektionsmethode bewiesen und die entsprechenden Schwarz und Dirichlet Probleme studiert. Danach wird die Schwarz-Poissonsche Integraldarstellung mit Hilfe einer geeigneten konformen Abbildung auf allgemeine Kreissektoren mit Öffnungswinkel π/α (α ≥ 1/2) erweitert. Damit werden die Schwarz und Dirichlet Probleme für die Cauchy-Riemann Gleichung gelöst. Es wird eine Brücke zu den entsprechenden Formeln im Einheitskreis und dem Kreissektor mit α = 1/2 geschlagen, und die Schwarz-Poisson Formel für den Einheitskreis aus der Schwarz-Poisson Formel für α = 1/2 hergeleitet. Eine harmonische Greensche Funktion und eine harmonische Neumannsche Funktion werden für Kreissektoren mit Winkel π/α (α ≥ 1/2), konstruiert und damit die Dirichlet und Neumann Probleme für die Poisson Gleichung behandelt. Insbesondere wird die äußere Richtungsableitung in den drei Eckpunkten des Gebietes in geeigneter Weise definiert. Eine biharmonische Greensche Funktion, eine biharmonische Neumannsche Funktion, eine triharmonische Greensche Funktion, eine triharmonische Neumannsche Funktion und eine terta-harmonische Greensche Funktion werden für die Kreissektoren mit Öffnungswinkel π/n (n ∈ N) in expliziter Form konstruiert. Darüber hinaus wird aufgezeigt, wie sich eine tetraharmonische Neumann Funktion gewinnen lässt, und ein Ausdruck für diese Funktion wird mit Hilfe einer Integraldarstellung angegeben. Die zugehörigen Dirichlet und Neumann Probleme werden gelöst. Schließlich wird ein Iterationsprozess zur Behandlung von polyharmonischen Dirichlet und Neumann Problemen für die Poissonsche Gleichung höherer Ordnung in Kreissektoren mit Winkel π/n (n ∈ N) und zugehörige Lösbarkeitsbedingungen angegeben. Auch wird das Randverhalten der gefalteten polyharmonischen Greenschen und Neumannschen Funktionen ausfjhrlich untersucht. In einem Anhang werden eine tetraharmonische Greensche Funktion und eine triharmonische Neumann Funktion für den Einheitskreis explizit konstruiert.