This work deals with the parameterization of simplicial surfaces, that is, generation of a mapping between a surface and the Euclidean plane. Through this correspondence, the existing structure of the plane is transferable onto the surface. For example, the plane possesses a natural division into unit squares, and using the parameterization map one can transfer this structure onto the surface. Applications of this are, for example, remeshing and texturing of surfaces and the creation of control grids for subdivision or NURBS surfaces. Parameterization maps usually have to meet a number of quality criteria, important examples are small angle and length distortion. In addition, it is often demanded that the gradient of the parameterization function are aligned with the direction of surface features such as sharp bends and edges. Our QuadCover method, which forms the basis of this thesis, generates a parameterization automatically from a tensor field of feature directions. The method builds on the fact that such multi-dimensional direction fields can be interpreted as one-dimensional vector fields on a branched covering of the surface. In this way, known results about vector fields, such as Hodge decomposition, can be applied. On this basis, QuadCover finds a parameterization that aligns as close as possible to a given direction field. Parameterizations of highest quality additionally require that length and angle distortion are minimized. For this, the number and location of branch points of the direction field is critical. In this work, we are pursuing several approaches: First, we show with a new method that the movement and especially the creation of branch points can drastically reduce distortion. Second, the distortion that is caused by the existence of branch points is reduced significantly by using a sophisticated rounding method. The third approach opposes the different types of distortion of the two former steps, and infers the optimal number of branch points out of them. The combination of the approaches makes it possible surpass even recent algorithms in terms of distortion.
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Parametrisierung simplizialer Flächen. Darunter versteht man das Erzeugen einer Abbildung zwischen einer Fläche und der euklidische Ebene, um durch diese Korrespondenz die vorhandene Struktur der Ebene auf der Fläche nutzbar zu machen. Zum Beispiel besitzt die Ebene eine natürliche Rasterung in Einheitsquadrate, die mithilfe der Parametrisierungsfunktion auf die Fläche übertragen werden kann. Anwendungen hierfür sind zum Beispiel die Neuvernetzung und Texturierung von Flächen, und die Erstellung von Kontrollnetzen zur Generierung von Subdivisions- oder NURBS-Flächen. Parametrisierungsfunktionen haben meist eine Reihe von Gütekriterien zu erfüllen, wichtig ist zum Beispiel geringe Längen- und Winkelverzerrung. Oft ist zusätzlich gefordert, dass die Gradienten der Abbildung mit der Ausrichtung von Flächenmerkmalen – etwa von scharfen Kanten – übereinstimmen. Unser QuadCover-Verfahren, das die Grundlage dieser Arbeit bildet, erzeugt automatisch aus einem Tensorfeld von Merkmalsrichtungen eine Parametrisierung. Das Verfahren basiert auf der Grundlage, dass diese mehrdimensionalen Tensorfelder als eindimensionale Vektorfelder auf einer verzweigten Überlagerung der Fläche interpretiert werden können. Auf diese Weise können bekannte Resultate über Vektorfelder, zum Beispiel die Hodge- Zerlegung, angewendet werden. Auf dieser Basis findet QuadCover die Parametrisierung, die einem gegebenen Richtungsfeld am nächsten kommt. Für Parametrisierungen höchster Güte muss zusätzlich die Längen- und Winkelverzerrung minimiert werden. Hierfür ist die Anzahl und Position von Verzweigungspunkten im Richtungsfeld entscheidend. In dieser Arbeit setzen wir an drei unterschiedlichen Punkten an: Erstens, zeigen wir mit einem neuen Verfahren, dass die Verzerrung durch das Verschieben und vor allem durch das Erschaffen von Verzweigungspunkten drastisch minimiert werden kann. Zweitens wird die Verzerrung, die durch die Existenz von Verzweigungspunkten entsteht, durch ein neues Rundungsverfahren deutlich stärker verringert als mit bisherigen Methoden. Der dritte Ansatz stellt die unterschiedlichen Arten von Verzerrung der zuvor genannten Verfahren gegenüber, so dass daraus die optimale Anzahl von Verzweigungspunkten bestimmt werden kann. Die Kombination der Ansätze erlaubt es, auch neue Verfahren hinsichtlich der Verzerrung zu übertreffen.
